数列是什么——从"按顺序排的数"到函数视角

（1） $a_{ n } =(\frac { 1 } { 3 }) ^ { n-1 }$ ， $b_{ n } =\frac { n } { 3 ^ { n } }$ ；
（2）证明见解析. 【分析】
（1）利用等差数列的性质及 $a_{ 1 }$ 得到 $9q ^ { 2 } -6q+1=0$ ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 $S_{ n } ,T_{ n }$ ，再作差比较即可.
（1）因为 $\left \{ a_{ n } \right \}$ 是首项为1的等比数列且 $a_{ 1 }$ ， $3a_{ 2 }$ ， $9a_{ 3 }$ 成等差数列， 所以 $6a_{ 2 } =a_{ 1 } +9a_{ 3 }$ ，所以 $6a_{ 1 } q=a_{ 1 } +9a_{ 1 } q ^ { 2 }$ ， 即 $9q ^ { 2 } -6q+1=0$ ，解得 $q=\frac { 1 } { 3 }$ ，所以 $a_{ n } =(\frac { 1 } { 3 }) ^ { n-1 }$ ， 所以 $b_{ n } =\frac { na_{ n } } { 3 }=\frac { n } { 3 ^ { n } }$ .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 $T_{ n } =\frac { 1 } { 3 }+\frac { 2 } { 3 ^ { 2 } }+\cdots +\frac { n-1 } { 3 ^ { n-1 } }+\frac { n } { 3 ^ { n } }$ ， $\frac { S_{ n } } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 3 ^ { 0 } }+\frac { 1 } { 3 ^ { 1 } }+\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }+\cdots +\frac { 1 } { 3 ^ { n-1 } } } \right )$ ， $\frac { 0-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 0 } }+\frac { 1-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 1 } }+\frac { 2-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 2 } }+\cdots +$ $\frac { n-1-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { n-1 } }+\frac { n } { 3 ^ { n } }$ ． 设 ${ Γ }_{ n } =\frac { 0-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 0 } }+\frac { 1-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 1 } }+\frac { 2-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 2 } }+\cdots +\frac { n-1-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { n-1 } }$ ，    ⑧ 则 $\frac { 1 } { 3 }{ Γ }_{ n } =\frac { 0-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 1 } }+\frac { 1-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 2 } }+\frac { 2-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { 3 } }+\cdots +\frac { n-1-\frac { 1 } { 2 } } { 3 ^ { n } }$ ．     ⑨ 由⑧-⑨得 $\frac { 2 } { 3 }{ Γ }_{ n } =-\frac { 1 } { 2 }+\left ( { \frac { 1 } { 3 ^ { 1 } }+\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }+\cdots +\frac { 1 } { 3 ^ { n-1 } } } \right )-\frac { n-\frac { 3 } { 2 } } { 3 ^ { n } }=-\frac { 1 } { 2 }+\frac { \frac { 1 } { 3 }\left ( { 1-\frac { 1 } { 3 ^ { n-1 } } } \right ) } { 1-\frac { 1 } { 3 } }-\frac { n-\frac { 3 } { 2 } } { 3 ^ { n } }$ ． 所以 ${ Γ }_{ n } =-\frac { 1 } { 4×3 ^ { n-2 } }-\frac { n-\frac { 3 } { 2 } } { 2×3 ^ { n-1 } }=-\frac { n } { 2×3 ^ { n-1 } }$ ． 因此 $T_{ n } -\frac { S_{ n } } { 2 }=\frac { n } { 3 ^ { n } }-\frac { n } { 2×3 ^ { n-1 } }=-\frac { n } { 2×3 ^ { n } } < 0$ ． 故 $T_{ n } < \frac { S_{ n } } { 2 }$ ． [方法二]【最优解】
：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得 $S_{ n } =\frac { 1×(1-\frac { 1 } { 3 ^ { n } }) } { 1-\frac { 1 } { 3 } }=\frac { 3 } { 2 }(1-\frac { 1 } { 3 ^ { n } })$ ， $T_{ n } =\frac { 1 } { 3 }+\frac { 2 } { 3 ^ { 2 } }+\cdots +\frac { n-1 } { 3 ^ { n-1 } }+\frac { n } { 3 ^ { n } }$ ，① $\frac { 1 } { 3 }T_{ n } =\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }+\frac { 2 } { 3 ^ { 3 } }+\cdots +\frac { n-1 } { 3 ^ { n } }+\frac { n } { 3 ^ { n+1 } }$ ，②
① $-$
②得 $\frac { 2 } { 3 }T_{ n } =\frac { 1 } { 3 }+\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 3 ^ { 3 } }+\cdots +\frac { 1 } { 3 ^ { n } }-\frac { n } { 3 ^ { n+1 } }$ $=\frac { \frac { 1 } { 3 }\left ( { 1-\frac { 1 } { 3 ^ { n } } } \right ) } { 1-\frac { 1 } { 3 } }-\frac { n } { 3 ^ { n+1 } }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 1-\frac { 1 } { 3 ^ { n } } } \right )-\frac { n } { 3 ^ { n+1 } }$ ， 所以 $T_{ n } =\frac { 3 } { 4 }(1-\frac { 1 } { 3 ^ { n } })-\frac { n } { 2⋅3 ^ { n } }$ ， 所以 $T_{ n } -\frac { S_{ n } } { 2 }=$ $\frac { 3 } { 4 }(1-\frac { 1 } { 3 ^ { n } })-\frac { n } { 2⋅3 ^ { n } }-\frac { 3 } { 4 }(1-\frac { 1 } { 3 ^ { n } })=-\frac { n } { 2⋅3 ^ { n } } < 0$ ， 所以 $T_{ n } < \frac { S_{ n } } { 2 }$ . [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知 $b_{ n } =n\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n }$ ，令 $c_{ n } =(αn+β)\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n }$ ，且 $b_{ n } =c_{ n } -c_{ n+1 }$ ，即 $n\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n } =(αn+β)\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n } -[α(n+1)+β]\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n+1 }$ ， 通过等式左右两边系数比对易得 $α=\frac { 3 } { 2 },β=\frac { 3 } { 4 }$ ，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设 $f(x)=x+x ^ { 2 } +x ^ { 3 } +\cdots +x ^ { n } =\frac { x\left ( { 1-x ^ { n } } \right ) } { 1-x }$ ， 由于 $\left[ \frac { x\left ( { 1-x ^ { n } } \right ) } { 1-x } \right]'=\frac { \left[ x\left ( { 1-x ^ { n } } \right ) \right]'\left ( { 1-x } \right )-\left[ x\left ( { 1-x ^ { n } } \right ) \right]×\left ( { 1-x } \right )' } { \left ( { 1-x } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 1+nx ^ { n+1 } -(n+1)x ^ { n } } { (1-x) ^ { 2 } }$ ， 则 $f'(x)=1+2x+3x ^ { 2 } +\cdots +nx ^ { n-1 } =\frac { 1+nx ^ { n+1 } -(n+1)x ^ { n } } { (1-x) ^ { 2 } }$ ． 又 $b_{ n } =n\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n } =\frac { 1 } { 3 }n\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n-1 }$ ， 所以 $\frac { 1 } { 3 }⋅f'\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right )=\frac { 1 } { 3 }×\frac { 1+n\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n+1 } -(n+1)\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n } } { \left ( { 1-\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } }$ ，下同方法二． 【整体点评】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 $S_{ n } ,T_{ n }$ ,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 $c_{ n } =(αn+β)\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { n }$ ，使 $b_{ n } =c_{ n } -c_{ n+1 }$ ，求得 $T_{ n }$ 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 考点04 数列与其他知识点杂糅