第10讲 统计基础——抽样、用样本估计总体

从一个朴素的问题开始

某工厂生产了一批灯泡，想知道这批灯泡的平均寿命。能把每一只灯泡都测到坏掉吗？显然不行——那样就没有灯泡可以卖了。那该怎么办？

答案是：抽一部分灯泡来测——这就是统计的基本思想。

但问题随之而来：随便抓几只测行不行？怎样才算"抓得准"？从这几只灯泡推断出来的平均寿命，靠谱吗？这些问题，就是这一讲要解决的。

抽样方法

要"用样本估计总体"，首先得从总体中抽取样本。抽样方法决定了样本是否具有代表性。

简单随机抽样

简单随机抽样是最基本的抽样方法：从总体中逐个抽取个体，每个个体被抽到的可能性相等。最简单的做法是抽签法或随机数表法。

比如从 500 个灯泡中抽取 20 个来测试，就给 500 个灯泡编号 1–500，用随机数表选出 20 个编号对应的灯泡。这种方法的优点是每个个体被抽到的机会完全均等，缺点是当总体很大时操作起来不方便。

分层抽样

如果总体由差异明显的几部分组成，简单随机抽样可能会漏掉某些重要的子群体。这时候用分层抽样：先按某种特征把总体分成若干层（比如男/女、高/中/低年级），然后在每一层内按比例抽取样本。

比如某校有高一 400 人、高二 350 人、高三 250 人，要抽取一个容量为 100 的样本。按分层抽样，各层应抽取的人数分别为：

$$\dfrac{400}{1000} \times 100 = 40, \qquad \dfrac{350}{1000} \times 100 = 35, \qquad \dfrac{250}{1000} \times 100 = 25$$

分层抽样的关键是先分层、再按比例抽样，确保每层都有代表。

系统抽样

系统抽样（也叫等距抽样）的操作步骤是：先把总体中的个体编号，然后计算分段间隔 $k = \dfrac{N}{n}$（$N$ 是总体容量，$n$ 是样本容量），在第一段中用简单随机抽样确定一个起始号码，然后每隔 $k$ 个抽取一个个体。

比如从 500 个产品中抽取 50 个，间隔 $k = 10$。先在 1–10 中随机选一个号码，比如 7，然后抽取 7、17、27、37、……、497，共 50 个。

系统抽样比简单随机抽样更容易操作，但要小心：如果总体中存在周期性规律，系统抽样可能会引入偏差。比如生产线上每隔 10 个产品有一个固定的质量波动，而你的间隔恰好也是 10，就会抽样到偏差最大的那些产品。

示意图

用样本数据刻画分布

拿到样本数据后，我们需要"描述"它的分布情况。高中数学中有几种常见的方法。

频率分布直方图

把数据分成若干组，统计每一组的频率（频数/样本容量），然后画成直方图。每个小矩形的面积代表该组的频率，所有矩形的面积之和为 1。

画直方图的关键步骤：

1. 求极差：最大值减去最小值
2. 决定组数和组距：组数一般取 5–15 组，组距 = 极差 / 组数
3. 决定分点：分点要比数据多一位小数，避免数据落在边界上
4. 列频率分布表：统计各组频数和频率
5. 画直方图：以组距为底边，以频率/组距为高

注意：纵轴是「频率/组距」，不是「频率」。矩形的面积才是频率。

茎叶图

茎叶图是一种简单直观的数据表示方法。把每个数据分成「茎」（高位数）和「叶」（低位数），茎放在左边，叶从小到大排列在右边。

比如 12 组学生的考试成绩（满分 100）：

茎 | 叶
 5 | 8
 6 | 2 4 7
 7 | 0 3 5 8
 8 | 1 4 6 9
 9 | 2 5

这表示分数为：58, 62, 64, 67, 70, 73, 75, 78, 81, 84, 86, 89, 92, 95。

茎叶图的优点是保留了原始数据的所有信息，同时能直观看出数据的分布形态和集中趋势。缺点是数据量大时比较繁琐。

频率分布直方图 vs 茎叶图

	频率分布直方图	茎叶图
优点	适合大量数据，直观显示分布形状	保留全部原始数据
缺点	丢失了原始数据的精确值	数据多时不易操作
适用	大数据量	中小数据量

样本数字特征

描述一组数据，光看分布形状不够，还需要一些数字特征来刻画其集中趋势和离散程度。

平均数

样本平均数（简称均值）是所有数据的算术平均：

$$\bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

平均数是最常用的"中心位置"度量，但它对极端值很敏感——如果有几个特别大或特别小的数据，平均数会被"拉偏"。

中位数

中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数：

• 如果 $n$ 是奇数，中位数是第 $\dfrac{n+1}{2}$ 个数
• 如果 $n$ 是偶数，中位数是第 $\dfrac{n}{2}$ 个数和第 $\dfrac{n}{2}+1$ 个数的平均值

中位数的优点是不受极端值影响。比如班里大多数同学月薪 5000 元，但有一个人月薪 50 万——平均工资会被拉高到远高于大多数人的水平，而中位数更能反映"典型情况"。

众数

众数是数据中出现次数最多的数值。一组数据可以有多个众数，也可以没有。

方差与标准差

平均数、中位数只能告诉你数据的"中心"在哪里，但还需要知道数据有多分散。方差和标准差就是衡量离散程度的指标。

方差：

$$s^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

标准差是方差的算术平方根：

$$s = \sqrt{s^2}$$

标准差的单位和原始数据相同，因此比方差更直观。标准差越大，说明数据越分散；标准差越小，数据越集中在均值附近。

注意区分样本方差 $s^2$ 和总体方差 $\sigma^2$。在高中阶段，通常用样本方差来估计总体方差。

用样本估计总体

以上所有方法都是描述统计——对已有的数据做整理和描述。但统计的最终目的是推断统计：用样本的信息来推测总体的特征。

核心思想是：样本的数字特征可以作为总体相应数字特征的估计值。

• 用样本平均数 $\bar{x}$ 估计总体平均数 $\mu$
• 用样本方差 $s^2$ 估计总体方差 $\sigma^2$
• 用样本的频率分布估计总体的概率分布

这个估计是有误差的，样本容量越大，估计通常越准确。但统计推断的本质是带着不确定性的判断——我们永远无法 100% 确定总体参数的精确值，只能给出一个"大概的范围"和"可信的程度"。这正是统计的魅力：承认不确定性，但仍然从中提取有用的信息。

深入理解

平均数、中位数、众数的关系

在对称的单峰分布中，平均数、中位数、众数三者重合。但在偏斜分布中，它们的位置各不相同：

• 右偏分布（长尾在右侧）：众数 < 中位数 < 平均数
• 左偏分布（长尾在左侧）：平均数 < 中位数 < 众数

理解这一点很重要：当你看到一组数据的平均数明显大于中位数时，就说明这组数据中有少数很大的值，把平均数"拉高"了。

方差公式的另一种形式

方差还有一个计算公式，有时候用起来更方便：

$$s^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$$

这个公式的含义是：方差 = 平方的平均 − 平均的平方。记忆方法：「先平方再平均，减去平均的平方」。

为什么不用极差？

极差（最大值减最小值）是最简单的离散程度度量，但它只用了两个数据，忽略了其他所有数据的信息。比如两组数据：

• A: 1, 2, 3, 4, 5 → 极差 = 4
• B: 1, 1, 1, 1, 5 → 极差 = 4

两组极差相同，但 A 的数据分布更均匀，B 的数据大部分挤在 1 附近。极差无法区分这两种情况，而方差可以。所以方差的参考价值更高。

在高中数学体系里的位置

统计在高中数学中是一个相对独立的板块，但和其他知识联系紧密。

思想延伸：统计的核心思想是"用样本估计总体"，这是一种基于部分认识整体的科学方法。这种思想不仅适用于数学，也适用于社会科学、经济学、医学等各个领域。

运算练兵场：统计的计算相对简单（主要是平均数、方差的计算），但需要细心。高考中统计题目通常不会很难，重点在于理解题意、正确选择方法。

易错点：

1. 混淆样本方差和总体方差：样本方差公式有时除以 $n-1$（无偏估计），有时除以 $n$，高中一般用除以 $n$ 的版本
2. 直方图纵轴误读：纵轴是「频率/组距」，不是频率，矩形面积才是频率
3. 极端值对平均数的影响：遇到偏斜数据时，平均数可能误导判断，应该参考中位数

思考与拓展

1. 一组数据 1, 2, 3, 4, 5, 100，它的平均数、中位数、众数各是多少？哪个最能代表这组数据的"典型值"？
2. 某班 50 名学生的成绩如下（单位：分）：78, 82, 85, 90, 76, 88, 92, 85, 79, 83, 87, 91, 85, 78, 82, 86, 90, 84, 88, 79, 83, 87, 91, 85, 80, 84, 88, 76, 82, 86, 90, 83, 87, 81, 85, 89, 78, 84, 88, 82, 86, 90, 83, 87, 81, 85, 89, 78, 84, 88, 82。画出一组合适的频率分布直方图，并计算平均数和标准差。
3. 用茎叶图表示以下数据：23, 25, 28, 31, 34, 36, 38, 42, 45, 47, 50, 53, 55。从图中你能读出哪些信息？
4. 某公司员工的月收入数据中，平均数为 8000 元，中位数为 6000 元。这说明公司的收入分布是右偏还是左偏？老板说"我们平均工资 8000"，员工说"我们大多数拿 6000"，谁的说法更有道理？

一句话总结

用样本估计总体——先通过抽样获得代表性数据，再用平均数、方差等数字特征描述分布，最后推断总体的情况。统计的本质是在不确定中寻找最合理的判断。