第8讲 期望与方差——随机变量的数字特征

从一个朴素的问题开始

有两个射手，甲和乙。他们的成绩如下：

• 甲：8, 9, 10, 7, 11（平均 9 环）
• 乙：5, 9, 9, 9, 13（平均也是 9 环）

两个人的平均分相同，都是 9 环。但你直觉上会觉得——甲的成绩更稳定，乙的成绩波动更大。

如何用数学语言精确描述「平均」和「稳定」？这就是数学期望和方差要解决的问题。

数学期望的定义

数学期望（简称期望）是随机变量所有可能取值的加权平均，权重就是每个值出现的概率。

对于离散型随机变量 $X$，其分布列为 $P(X = x_i) = p_i$（$i = 1, 2, \ldots$），则 $X$ 的数学期望定义为：

$$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots \qquad (1)$$

期望反映了随机变量取值的「平均水平」或「中心位置」。

期望的例子

还是摸球问题：袋子里有 3 个红球、2 个白球，从中任取 2 个，$X$ 为红球个数。

分布列为：

$X$	0	1	2
$P$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{3}{5}$	$\dfrac{3}{10}$

期望为：

$$E(X) = 0 \times \dfrac{1}{10} + 1 \times \dfrac{3}{5} + 2 \times \dfrac{3}{10} = 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2$$

这意味着：如果反复进行这样的摸球试验，红球个数的平均值会趋近于 1.2。

期望的直观意义

期望不是一个「一定会出现的值」。比如上面的例子，$X$ 只能取 0, 1, 2，但期望是 1.2，介于 1 和 2 之间。期望是长时期的平均值——如果你做足够多的重复试验，样本均值会收敛到期望。

这叫做大数定律：当试验次数 $n \to \infty$ 时，样本均值 $\dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ 依概率收敛到期望 $E(X)$。

再看一个更贴近生活的例子：你买了一张彩票，中奖概率是 1%，奖金是 1000 元。买一张彩票的「期望收益」是多少？

令 $X$ 为收益，则 $P(X = 1000) = 0.01$，$P(X = 0) = 0.99$。

$$E(X) = 1000 \times 0.01 + 0 \times 0.99 = 10 \text{ 元}$$

但要注意，彩票本身要花钱买，假设 2 元一张，那么净收益的期望是 $10 - 2 = 8$ 元——不对，这里的 10 元是「中奖时的奖金」，而不是「净收益」。期望是加权平均，不是每次都能得到的值。 你买一张彩票，要么中 1000 元，要么 0 元，不可能得到 10 元。但如果你买 100 张，平均下来大约能中 1 张，总收入 1000 元，平均每张 10 元——这才体现了期望的「长期平均」含义。

示意图

期望的性质

期望有一些非常好的运算性质，这些性质让复杂的期望计算变得简单。

性质 1：常数的期望

$$E(c) = c \qquad (2)$$

常数的期望就是常数本身。

性质 2：线性性

$$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b \qquad (3)$$

这是期望最重要的性质——线性性。它告诉我们：对随机变量做线性变换，期望也做同样的线性变换。

这个性质的应用场景非常广：

• 如果 $X$ 表示一次试验的结果，那么 $aX + b$ 表示变换后的结果，期望就是 $aE(X) + b$
• 比如工资 = 底薪 3000 + 提成 10% × 销售额，销售额的期望是 50000，那么工资的期望就是 $3000 + 0.1 \times 50000 = 8000$

性质 3：和的期望

$$E(X + Y) = E(X) + E(Y) \qquad (4)$$

期望的和等于和的期望，不需要 $X$ 和 $Y$ 独立。这条性质比线性性更通用——它适用于任意两个随机变量，不管它们是否相关。

这个性质的一个推论：如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是 $n$ 次独立重复试验中某事件发生的次数，且每次成功的概率为 $p$，那么 $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，且 $E(X_i) = p$，所以 $E(X) = np$。这正是二项分布期望的推导！

方差的定义

期望告诉我们「平均值」，但没有告诉我们数据的「分散程度」。两个分布可以期望相同，但一个很集中，一个很分散。

方差就是刻画分散程度的数字。

对于离散型随机变量 $X$，其期望为 $E(X) = \mu$，则 $X$ 的方差定义为：

$$D(X) = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i \qquad (5)$$

方差反映的是：每个取值与期望的偏离程度的加权平均。

方差的直观理解

方差越大，说明数据越分散；方差越小，说明数据越集中。

用射手的例子来说：

• 甲：8, 9, 10, 7, 11，期望 9，方差 = $\dfrac{(8-9)^2 + (9-9)^2 + (10-9)^2 + (7-9)^2 + (11-9)^2}{5} = \dfrac{1+0+1+4+4}{5} = 2$
• 乙：5, 9, 9, 9, 13，期望 9，方差 = $\dfrac{(5-9)^2 + (9-9)^2 + (9-9)^2 + (9-9)^2 + (13-9)^2}{5} = \dfrac{16+0+0+0+16}{5} = 6.4$

乙的方差更大，说明乙的成绩波动更剧烈。

方差的计算公式

方差的定义式（5）有时计算不太方便，我们常用下面这个等价公式：

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \qquad (6)$$

这个公式的证明很简单：

$$E[(X - \mu)^2] = E(X^2 - 2\mu X + \mu^2) = E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2 = E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$$

即 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。

用公式（6）计算：

• $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot p_i$
• $[E(X)]^2 = \mu^2$

两者相减就是方差。

方差的性质

性质 1：平移不变性

$$D(X + b) = D(X) \qquad (7)$$

给随机变量加上一个常数，只是把分布平移，不改变分散程度，所以方差不变。

性质 2：缩放性

$$D(aX) = a^2 \cdot D(X) \q　(8)$$

给随机变量乘以一个常数，分散程度按平方倍放大（或缩小）。

性质 3：方差公式

综合性质 1 和 2：

$$D(aX + b) = a^2 \cdot D(X) \qquad (9)$$

期望与方差的具体分布

两点分布 $B(1, p)$

$P(X = 1) = p$，$P(X = 0) = 1-p$。

期望：$E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$。

方差：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1-p)$。

二项分布 $B(n, p)$

利用期望的线性性，把 $X$ 分解为 $n$ 个独立的伯努利试验之和：

$$E(X) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) = np$$ $$D(X) = D(X_1) + D(X_2) + \cdots + D(X_n) = n \cdot p(1-p)$$

所以二项分布的期望是 $np$，方差是 $np(1-p)$。

这两个公式在考试中经常直接使用，不需要每次都从定义推导。

深入理解

期望与方差的决策应用

期望和方差不只是数字，它们在决策中有着重要的作用。

例子：投资决策

你有两个投资机会：

• 项目 A：预期收益 10 万元，方差 4 万元²
• 项目 B：预期收益 10 万元，方差 16 万元²

两个项目的期望收益相同，但项目 A 的方差更小，意味着收益更稳定。风险厌恶型的投资者会选择项目 A；风险偏好型的投资者可能会选择项目 B——因为方差大，波动大，虽然风险也大，但有机会获得更高的收益。

这说明：期望和方差是互补的指标——期望告诉我们「平均赚多少」，方差告诉我们「波动有多大」。一个完整的决策需要同时考虑这两个指标。

期望和方差的几何意义

如果把随机变量的分布看作一个概率分布的「形状」，那么期望就是这个形状的「重心」，方差是这个形状的「宽度」。

期望越大，重心越靠右；方差越大，形状越宽（越扁平）。

这也就是为什么二项分布 $B(n, p)$ 的期望 $np$ 是分布的中心位置，而方差 $np(1-p)$ 控制着分布的宽窄：$p$ 越接近 0 或 1，方差越小，分布越集中；$p = 0.5$ 时方差最大，分布最分散。

标准差：方差的「开根号」

方差的单位是随机变量单位的平方，有时候不太直观。所以我们定义标准差 $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$，它的单位和 $X$ 一样，更容易理解。

比如射手甲的方差是 2，标准差是 $\sqrt{2} \approx 1.41$ 环，意味着他的成绩大约在 $9 \pm 1.41$ 环的范围内波动。

在高中数学体系里的位置

期望和方差是概率统计的核心内容，也是整个专题的收官之笔。

思想延伸：期望和方差体现了「用两个数字概括整个分布」的统计思想——把复杂的信息压缩成简洁的数字特征。这是统计学的基本方法，也是从高中走向大学数学的重要桥梁。

运算练兵场：期望和方差的计算是概率统计板块运算量最大的部分，涉及分布列、排列组合、代数运算，是高考解答题的主要考点。

高考地位：期望和方差是高考必考内容，几乎每年都有大题（12 分），背景可以是生产质量检验、体育比赛、经济效益等实际应用问题。题目设计注重考查学生对概念的理解和综合运用能力。

易错点：

1. 期望和方差的公式混淆——期望是加权平均，方差是偏离平方的加权平均，不要搞混
2. 忽视方差的性质——比如 $D(aX+b) = a^2 D(X)$，$a^2$ 容易漏掉
3. 混淆期望和方差的应用场景——期望看「平均水平」，方差看「稳定程度」，决策时要同时考虑

思考与拓展

1. 二项分布 $B(n, p)$ 的期望是 $np$，方差是 $np(1-p)$。当 $n$ 固定、$p$ 变化时，方差什么时候最大？什么时候最小？
2. 一个袋子里有 $N$ 个球，其中 $M$ 个红球。从中不放回地抽取 $n$ 个，令 $X$ 为红球个数（超几何分布）。求 $E(X)$ 和 $D(X)$。（提示：把 $X$ 写成 $n$ 个指示变量的和）
3. 某工厂生产的产品合格率为 95%。从产品中随机抽取 10 件，令 $X$ 为合格品数。求 $E(X)$ 和 $D(X)$。如果合格率提高到 98%，期望和方差会怎样变化？
4. 甲、乙两人独立投篮，命中率分别是 0.6 和 0.7。各投 5 次，求两人投中次数之差 $Y = X_{\text{甲}} - X_{\text{乙}}$ 的期望和方差。

一句话总结

期望是加权平均，衡量中心位置；方差是偏离平方的加权平均，衡量波动程度；二项分布的期望是 np，方差是 np(1-p)。两个数字概括了整个分布的灵魂。