离散型随机变量与分布列——把随机事件变成数

从一个朴素的问题开始

掷两枚骰子，我们关心的是「点数之和」。点数之和可以是 2, 3, 4, ..., 12 中的一个，每个值出现的概率不同。

如果我们把这个「点数之和」记作 $X$，那么 $X$ 是一个随机变量——它的取值取决于掷骰子的结果，但在掷之前我们不知道它会取什么值。

随机变量的本质：它是一个函数，把随机试验的每一个结果映射到一个实数。

这就是本讲要学的：随机变量是什么，分布列怎么列，以及如何用它来描述随机现象。

随机变量的定义

设一个随机试验的样本空间是 $\Omega$。随机变量是一个函数 $X: \Omega \to \mathbb{R}$，把每个样本点 $\omega \in \Omega$ 映射到一个实数 $X(\omega)$。

这样说可能有点抽象，我们用几个例子来说明。

例子 1：掷骰子

掷一枚均匀的骰子，样本空间 $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。定义随机变量 $X$ 为「掷出的点数」，那么 $X$ 就是一个随机变量，$X(\omega) = \omega$。

例子 2：摸球问题

袋子里有 3 个红球、2 个白球，从中任取 2 个。令 $X$ 为「取到的红球个数」，那么 $X$ 的可能取值是 0, 1, 2。

• $X = 0$：取到 2 个白球
• $X = 1$：取到 1 红 1 白
• $X = 2$：取到 2 个红球

例子 3：等待时间

你在公交站等车，公交车每隔 10 分钟来一趟，你在任意时刻到达车站是等可能的。令 $X$ 为「等车时间」，那么 $X$ 的可能取值是区间 $[0, 10)$ 中的任意实数。

这就是离散型随机变量和连续型随机变量的区别：

• 离散型随机变量：所有可能的取值是有限个或可列个（如 0, 1, 2, ...）
• 连续型随机变量：所有可能的取值是一个区间或若干个区间（如 $[0, 10]$）

高中阶段我们主要研究离散型随机变量。

示意图

分布列的定义

离散型随机变量 $X$ 可能取到的值为 $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$，取各个值的概率为 $p_i = P(X = x_i)$。我们把 $X$ 的取值和相应的概率列成表格，叫做 $X$ 的分布列。

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	$\cdots$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$	$\cdots$

分布列满足两个性质：

1. 非负性：$p_i \ge 0$，$i = 1, 2, \ldots$
2. 归一性：$\sum_{i} p_i = 1$

这两个性质非常重要，它们是检验一个分布列是否正确的基本依据。

分布列的例子

回到摸球问题：袋子里有 3 个红球、2 个白球，从中任取 2 个，$X$ 为红球个数。

总共有 $\mathrm{C}_5^2 = 10$ 种取法。

• $P(X = 0) = \dfrac{\mathrm{C}_3^0 \cdot \mathrm{C}_2^2}{\mathrm{C}_5^2} = \dfrac{1}{10}$（取 0 红 2 白）
• $P(X = 1) = \dfrac{\mathrm{C}_3^1 \cdot \mathrm{C}_2^1}{\mathrm{C}_5^2} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$（取 1 红 1 白）
• $P(X = 2) = \dfrac{\mathrm{C}_3^2 \cdot \mathrm{C}_2^0}{\mathrm{C}_5^2} = \dfrac{3}{10}$（取 2 红 0 白）

分布列为：

$X$	0	1	2
$P$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{3}{5}$	$\dfrac{3}{10}$

验证：$\dfrac{1}{10} + \dfrac{6}{10} + \dfrac{3}{10} = 1$，性质满足。

深入理解

两点分布（0-1 分布）

两点分布是最简单的离散型分布。如果随机变量 $X$ 只取两个值 0 和 1，且 $P(X = 1) = p$，$P(X = 0) = 1 - p$，那么 $X$ 服从两点分布（也叫 0-1 分布）。

两点分布描述的就是只有两种可能结果的随机试验，比如：

• 抛一枚硬币（正面=1，反面=0）
• 产品是否合格（合格=1，不合格=0）
• 考试是否通过（通过=1，不通过=0）

两点分布的特征是：它只有一个参数 $p$，控制着「成功」的概率。 其他的一切都由 $p$ 决定。

超几何分布

超几何分布描述的是不放回抽样中的成功次数。

设有 $N$ 件产品，其中有 $M$ 件次品。从中不放回地抽取 $n$ 件，令 $X$ 为「抽到的次品数」，那么 $X$ 服从超几何分布，记作 $X \sim H(N, M, n)$。

超几何分布的概率公式：

$$P(X = k) = \dfrac{\mathrm{C}_M^k \cdot \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, \min(M, n) \qquad (1)$$

理解这个公式的关键：分子是「从 $M$ 件次品中选 $k$ 件，再从 $N-M$ 件正品中选 $n-k$ 件」的组合数，分母是「从 $N$ 件中任选 $n$ 件」的组合数。

超几何分布和之前摸球问题的例子是完全一致的：$N = 5$（总球数），$M = 3$（红球数），$n = 2$（抽取数），$k$ 就是红球个数。

二项分布的铺垫

超几何分布有一个重要的极限情况：当总体 $N$ 很大，而抽样数 $n$ 相对很小时，不放回抽样近似于有放回抽样，此时超几何分布趋近于二项分布——这正是第 7 讲要学的内容。

在高中数学体系里的位置

随机变量和分布列是概率统计从「事件」走向「变量」的转折点，是整个专题的核心概念之一。

思想延伸：随机变量的概念是概率论从「描述事件」升级到「描述数量」的关键一步。在此之前，我们研究的是事件 $A$ 的概率 $P(A)$；有了随机变量，我们可以研究 $X$ 取各种值的概率。这是从定性到定量的跨越。

运算练兵场：分布列的列写需要熟练运用排列组合知识，是高考中计算量适中但要求准确的基础题型。

高考地位：分布列的概念和性质是选择题和填空题的常客（5 分），分布列的计算和解答题中结合期望方差的综合题也经常出现（12 分）。超几何分布是必掌握的内容，两点分布是二项分布的特殊情况也需熟悉。

易错点：

1. 分不清离散型和连续型——不是所有随机变量都是离散的，要注意取值是有限个还是可列个
2. 分布列不满足归一性——列完分布列后忘记检验概率之和是否为 1
3. 超几何分布的参数搞错——$N$ 是总数，$M$ 是次品数，$n$ 是抽取数，不要混淆

思考与拓展

1. 从 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数中任取 3 个，令 $X$ 为取到的最大数，求 $X$ 的分布列。
2. 一个袋子里有 4 个红球、3 个白球，从中不放回地取 2 次，每次取 1 个。令 $X$ 为取到的红球个数，求 $X$ 的分布列。（和只取 2 个球的结果一样吗？）
3. 超几何分布 $H(N, M, n)$ 中，当 $N \to \infty$，$M/N \to p$，$n$ 固定时，概率 $P(X = k)$ 趋向于什么分布？（提示：用组合数的近似）
4. 你能构造一个服从两点分布的实际场景，并说明参数 $p$ 的实际含义吗？

高考母题

（2021·北京） 在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 $\frac { 1 } { 11 }$ .设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

展开详解

（1）
① $20$ 次；
②分布列见解析；期望为 $\frac { 320 } { 11 }$ ；
（2） $E\left ( { Y } \right )>E\left ( { X } \right )$ ． 【分析】
（1）
①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出 $E\left ( { Y } \right )$ ，即可得解.
（1）
①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次；
②由题意， $X$ 可以取20，30， $P\left ( { X=20 } \right )=\frac { 1 } { 11 }$ ， $P\left ( { X=30 } \right )=1-\frac { 1 } { 11 }=\frac { 10 } { 11 }$ ， 则 $X$ 的分布列: $X$ $20$ $30$ $P$ $\frac { 1 } { 11 }$ $\frac { 10 } { 11 }$ 所以 $E\left ( { X } \right )=20×\frac { 1 } { 11 }+30×\frac { 10 } { 11 }=\frac { 320 } { 11 }$ ；
（2）由题意， $Y$ 可以取25，30， 两名感染者在同一组的概率为 $P_{ { 1 } } =\frac { 20C_{ 2 } ^{ 2 }C_{ 98 } ^{ 3 } } { C_{ 100 } ^{ 5 } }=\frac { 4 } { 99 }$ ，不在同一组的概率为 $P_{ { 2 } } =\frac { { 9 }{ 5 } } { 99 }$ ， 则 $E\left ( { Y } \right )=25×\frac { { 4 } } { { 9 }{ 9 } }+30×\frac { { 9 }{ 5 } } { { 9 }{ 9 } }{ = }\frac { { 2 }{ 9 }{ 5 }{ 0 } } { { 9 }{ 9 } }>E\left ( { X } \right )$ .

一句话总结

随机变量是把随机结果变成数字的函数，分布列是它取每个值的概率清单——非负且归一是分布列的基本特征。