第3讲 几何概型——当可能性无限多的时候

从等公交车说起

你到公交站等车，已知公交车每隔 10 分钟来一趟。你等车时间不超过 3 分钟的概率有多大？

这个问题和我们上一讲学的古典概型不一样——等车时间可以是 0 到 10 分钟之间的任意实数，有无限多种可能。总不能说「有无限种结果，其中 3 种满足条件，所以概率是 $\dfrac{3}{\infty}$」吧？

无限除以无限，没有意义。我们需要一种新的概率模型来处理这种情况——几何概型。

什么是几何概型

几何概型的基本思想和古典概型是一样的：每个基本事件发生的可能性相等。但和古典概型不同的是，几何概型的基本事件有无限多个。

这时候，我们用「测度」来代替「个数」：

$$P(A) = \dfrac{\text{构成事件 A 的区域的测度}}{\text{全部结果构成的区域的测度}}$$

什么是「测度」？看情况：

• 如果是一维的（比如时间、长度），测度就是长度
• 如果是二维的（比如平面上的点），测度就是面积
• 如果是三维的（比如空间中的点），测度就是体积

几何概型的本质：从「数数」变成「量长度/面积/体积」。

示意图

一维几何概型：长度之比

回到开头的等车问题。

公交车每隔 10 分钟来一趟，你在任意时刻到达车站是等可能的。求等车时间不超过 3 分钟的概率。

我们用 $x$ 表示你的等车时间，$x$ 可以是 $[0, 10)$ 中的任意实数，而且每个值出现的可能性相等。

• 全部结果的区域：长度为 $10$ 的区间 $[0, 10)$
• 事件 A（等车不超过 3 分钟）对应的区域：长度为 $3$ 的区间 $[0, 3]$

所以：

$$P(A) = \dfrac{3}{10} = 0.3$$

很直观对不对？但别急，我们再看一个有点反直觉的例子。

贝特朗悖论

几何概型看起来简单，但有一个著名的悖论——贝特朗悖论。

问题是这样的：在一个圆内随机画一条弦，这条弦的长度大于圆内接等边三角形的边长的概率是多少？

这个问题有三种不同的「随机」方式，得到三个不同的答案：

方法一：随机端点法 在圆周上随机选两个点连起来。固定一个端点，另一个端点只有落在对面的 1/3 圆弧上时，弦长才超过边长。所以概率是 $\dfrac{1}{3}$。

方法二：随机半径法 随机画一条半径，再在半径上随机选一个点作垂线。当这个点离圆心的距离小于半径的一半时，弦长超过边长。所以概率是 $\dfrac{1}{2}$。

方法三：随机中点法 在圆内随机选一个点作为弦的中点。当中点落在半径为原半径一半的同心圆内时，弦长超过边长。小圆面积是大圆的 $\dfrac{1}{4}$，所以概率是 $\dfrac{1}{4}$。

同一个问题，三个不同的答案——哪个对？

都对。 因为「随机画一条弦」这句话本身就是模糊的——你到底是怎么「随机」的？不同的随机方式，对应不同的等可能性假设，得到不同的概率。

贝特朗悖论告诉我们：使用几何概型时，一定要明确「等可能」到底是相对于什么而言的。 不说明随机方式的几何概型问题，本质上是不完整的。

二维几何概型：面积之比

几何概型更常见的是二维的情况——两个独立的随机变量，用平面区域来表示。

来看一个经典问题：

约会问题：甲乙两人约定在下午 3 点到 4 点之间在某地见面，先到的人等 15 分钟，对方还没来就可以走。如果两人在这一小时内到达的时刻是随机的，求他们能见面的概率。

设甲到达的时刻为 $x$，乙到达的时刻为 $y$，都在 $[0, 60]$ 分钟内均匀分布。

• 全部结果的区域：边长为 60 的正方形，面积 $60 \times 60 = 3600$
• 两人能见面的条件：$|x - y| \le 15$

这个条件对应的区域是什么样的？在正方形中，$|x - y| \le 15$ 是夹在两条直线 $y = x + 15$ 和 $y = x - 15$ 之间的区域。

反过来算比较方便：不能见面的区域是两个三角形，每个三角形的直角边长为 45，面积和为：

$$2 \times \dfrac{1}{2} \times 45 \times 45 = 2025$$

所以能见面的概率是：

$$P = \dfrac{3600 - 2025}{3600} = \dfrac{1575}{3600} = \dfrac{7}{16} = 0.4375$$

也就是说，即使两人都很守时（等 15 分钟），见面的概率也不到一半——这是不是有点反直觉？

几何概型的意义

几何概型看起来是「古典概型的推广」，但实际上它的意义远不止于此。

从有限到无限：几何概型是人类第一次系统地处理「无限情况下的概率」。从有限个结果到无限个结果，这是一个巨大的跨越——需要用到微积分和测度论的思想。后来概率论的公理化，就是建立在测度论的基础之上的。

从离散到连续：古典概型处理的是离散的问题（数个数），几何概型处理的是连续的问题（量面积）。这个「从离散到连续」的跨越，在数学中反复出现——从数列到函数、从求和到积分、从差分到导数……

和其他知识的联系：几何概型天然地把概率和几何联系在一起，也和微积分、不等式等内容有关。高考中几何概型的题目，往往需要你先建立几何模型，再用几何知识计算面积或长度。

在高中数学体系里的位置

几何概型在高中概率中占的分量不重，但它的思想很重要。

高考地位：几何概型在高考中通常以选择题或填空题的形式出现（5 分），难度不大。主要考查一维（长度）和二维（面积）的几何概型，其中约会问题、投点问题是常见的题型。

易错点：

1. 搞错维度——该用面积的时候用了长度，或者反过来
2. 区域画错——二维问题中，事件对应的几何区域画不准确
3. 忽略「等可能性」——没有确认每个基本事件是否等可能（贝特朗悖论就是教训）

和后续内容的联系：学了几何概型，你对「连续型随机变量」就不会觉得太陌生了——后来学的均匀分布，本质上就是一维几何概型的推广。

思考与拓展

1. 在区间 $[0, 1]$ 上任取两个数，求它们的和小于 1 的概率。
2. 在边长为 1 的正方形内随机取一点，求这个点到正方形中心的距离小于 $\dfrac{1}{2}$ 的概率。
3. 甲乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船停泊 2 小时，乙船停泊 1 小时，求它们中至少有一艘在停靠时必须等待的概率。
4. 贝特朗悖论有三个不同的答案，这说明概率是「主观的」吗？还是说问题本身就不够明确？

一句话总结

几何概型把「个数之比」推广为「测度之比」——一维用长度、二维用面积、三维用体积，但前提是你得说清楚「等可能」到底是什么意思。