一个赌徒把比例用错地方，问出了概率论

单 6 四次 0.518，双 6 二十四次 0.491

English（原书原文）

We consider a dice game that played an important role in the historical development of probability. The famous letters between Pascal and Fermat, which many believe started a serious study of probability, were instigated by a request for help from a French nobleman and gambler, Chevalier de Méré.

It is said that de Méré had been betting that, in four rolls of a die, at least one six would turn up. He was winning consistently and, to get more people to play, he changed the game to bet that, in 24 rolls of two dice, a pair of sixes would turn up. It is claimed that de Méré lost with 24 and felt that 25 rolls were necessary to make the game favorable. It was un grand scandale that mathematics was wrong.

We shall try to see if de Méré is correct by simulating his various bets. The program DeMere1 simulates a large number of experiments, seeing, in each one, if a six turns up in four rolls of a die. When we ran this program for 1000 plays, a six came up in the first four rolls 48.6 percent of the time. When we ran it for 10,000 plays this happened 51.98 percent of the time.

We note that the result of the second run suggests that de Méré was correct in believing that his bet with one die was favorable; however, if we had based our conclusion on the first run, we would have decided that he was wrong. Accurate results by simulation require a large number of experiments.

一个赌徒的两笔账

十七世纪的巴黎，有个叫德·梅雷的贵族。他不是数学家，但赌得极认真，认真到会把每一笔账算清楚。

他账上有一笔稳赚的：一颗骰子扔 4 次，至少出一个 6。他靠这个赢了很久。

赢久了就想做大。于是他把规则改成一笔看起来完全对称的：两颗骰子扔 24 次，至少出一对双六。

他的推理无懈可击——

一颗骰子 6 个面，扔 4 次。两颗骰子 36 个面，那就扔 24 次。

$$\frac{4}{6} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}.$$

比例一样，凭什么一个赚一个不赚？

结果它不赚。 不但不赚，还稳赔。

德·梅雷想不通的不是"这笔账怎么算"——他后来自己算出来了，临界值确实是 25 次。他想不通的是另一件事：

那个天经地义的比例，为什么会骗人？

他把这个问题连同另一个更麻烦的赌局纠纷一起递给了帕斯卡。1654 年，帕斯卡为了回答它去信问费马。这几封信，今天被普遍看作概率论出生的地方。

一个赌徒被"显然的类比"绊了一跤，摔出了一门学科。

这道题在问什么

先把两笔账各算一次，看看德·梅雷的感觉对不对。

第一笔：一颗骰子，4 次内至少一个 6。

直接数"至少一个"太难——它可以出现在第 1 次、第 2 次、第 3 次、第 4 次，还有两三个一起出的。老办法是算它的对立面：四次全不是 6。

单次不是 6 的概率是 $5/6$，四次独立：

$$P(\text{四次无6}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}.$$

于是

$$P(\text{至少一个6}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0.5177.$$

刚刚过半。德·梅雷靠它吃饭，没错。

第二笔：两颗骰子，24 次内至少一对 6。

双六只是 36 种组合里的一种，单次不出双六的概率是 $35/36$：

$$P(\text{24次无双六}) = \left(\frac{35}{36}\right)^{24}, \qquad P(\text{至少一对6}) = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0.4914.$$

没过半。 这笔账是亏的。

德·梅雷说"25 次才有利"——他完全正确：

$$1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx 0.5055.$$

第 25 次，才刚跨过 $1/2$。

比例为什么骗人——这里才是本篇的正主

现在回到他真正想不通的地方。

$$\frac{4}{6} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3},$$

两笔账的比例一模一样，一个 $0.5177$ 一个 $0.4914$。这个比例本身没算错，错的是它跟概率之间根本没有这条关系。

德·梅雷援引的那个规则在他那个年代很有市场——大意是：临界投掷数跟总结果数成固定比例。一颗骰子 4 次对应 6 个面，两颗骰子就该 24 次对应 36 个面。后人考证过这条"规则"，它在某些场合偶然蒙对，在双六这个场合碰上 $1/2$ 这条敏感的边界，就露馅了。

为什么比例在这里必然失效？

因为"至少一次"的概率不是按比例长的，它长这样：

$$P(\text{至少一次}) = 1 - (1-p)^{k}.$$

指数函数。而德·梅雷那条规则是线性的——把 $k$ 和总结果数按同一个倍数放大。线性和指数在 $k$ 小的时候靠得很近，在 $k$ 越过某个点之后必然分开。 4 和 24 恰好一个还在近区、一个已经出界。

举一个能当场算给学生看的对照。一颗骰子要多少次，胜率刚好过半？

投掷次数 $k$	$1-(5/6)^k$
1	0.1667
2	0.3056
3	0.4213
4	0.5177

第 3 次还差一大截，第 4 次就过了线——指数在临界点附近的爬升比直觉快得多。这就是为什么 4 对应 6 能成，24 对应 36 不能成：比例(vector)是匀速伸出去的一条线，指数是越走越快的另一条，两者的差距随 $k$ 拉开。

德·梅雷的感觉其实是：前一对数字蒙对了，后一对就该蒙对。 但数学不是"前一对蒙对所以后一对也对"，数学是给出为什么前一对对、后一对不对。后一件帕斯卡和费马那时还没做完。

算完之后，原书还留了一个更大的坑

注意原书最后那个模拟实验——它的小心思比前面都值得讲。

同一个赌局，程序跑 1000 局，得到 48.6%。跑 10000 局，得到 51.98%。

真实值是 $0.5177$。

1000 局那一次，结论是反的：48.6% 小于一半，照着它下判断，你会说"德·梅雷错了，这笔账是亏的"——而事实正好相反。

10000 局那一次才把方向拨正。

这不是程序出了错，这是模拟的本性。原书自己把这句话写进了斜体：Accurate results by simulation require a large number of experiments. 用模拟说话，实验次数不够，你会得到一本正经的错误答案，而且和正确答案只差三个百分点——足够让人信服地做出反向决定。

课堂上一旦让学生自己写这个模拟，这个坑他们几乎必踩，而且踩得毫无防备。

在课堂上怎么办

先让学生投票，再让他们自己算。

"一颗骰子扔 4 次出一个 6，赢。两颗骰子扔 24 次出双六，赢。哪个机会大？"——绝大多数人选后者，理由都是"36 比 6 多，机会大多了"。

然后让他们分组算，把两个数字贴在黑板上。当 $0.5177$ 和 $0.4914$ 并排出现时，教室里会安静一下。

接下来是这节课最值得花时间的地方：让每个学生用计算器（或伪随机数）模拟那笔账，各跑 200 局。把全班的结果收上来求平均——通常会明显偏向一侧，而且不同小组结论可能相反。这时再让他们全班合起来跑 5000 局、50000 局，看数字怎么一点点贴向 $0.5177$。

要让他们亲手做出一次"反号的错误结论"，再亲眼看见它被样本量纠正。这比讲十遍"模拟要跑够次数"都牢。

如果还有时间，可以追问一句："那要跑多少次才够用？"——这个问题没有放之四海的答案，但它能把学生从"概率是个数"推到"概率是对一个数的估计，估计有精度"。

学生最容易栽在哪

课堂提问

1. 一颗骰子要扔多少次，胜率刚好过半？答案是 4 次。那两颗骰子呢？答案是 25。为什么不是 $4 \times 6 = 24$？
2. 把规则改成"扔出两次 6 才算赢"（同一颗骰子），平均要扔多少次？提示：先想清楚"两次都出现 6"和"至少出现一次 6"是不是同一件事。
3. 两颗骰子扔 25 次的胜率是 $0.5055$，只比一半多一点点。如果一个赌徒每天赌 100 局，他大概多久能发现自己其实在亏？