乐器的音律——音高与频率的关系

原典

钟已厚则石，已薄则播。

是故长则磬，短则鼓。

——《考工记·凫氏》

这段话说的是什么

《考工记》不仅记录车轮，还记录了各种乐器的制作规范。

• 钟（编钟）：太厚则声音沉闷（「石」），太薄则声音发散（「播」）。
• 磬（石磬）：越长音越低，越短音越高。

这是古人对「音高与振动体尺寸关系」的经验总结。

示意图

振动体的长度与频率成反比：$L \propto \frac{1}{f}$。

音高的数学描述

现代物理学告诉我们：音高由频率决定，频率越高音越高。

对于弦乐器，频率与弦长的关系：

其中 $L$ 是弦长，$T$ 是张力，$\mu$ 是线密度。

对于给定弦（$T$ 和 $\mu$ 不变），频率与弦长成反比：

所以：弦长减半，频率翻倍，音高提高一个八度。

十二律吕的数学

中国古代把一个八度分为「十二律」：

黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟。

相邻两律的频率比是 $\sqrt[12]{2} \approx 1.0595$。

设黄钟频率为 $f_0$，则第 $n$ 律的频率为：

这与现代钢琴的半音关系完全一致。

三分损益法

《管子·地员》记载了「三分损益法」：

• 三分损一：弦长乘以 $\frac{2}{3}$，频率乘以 $\frac{3}{2}$（提高五度）
• 三分益一：弦长乘以 $\frac{4}{3}$，频率乘以 $\frac{3}{4}$（降低五度）

从黄钟出发，依次损益，可以生成十二律。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：音律体现了比例与指数的关系。十二律的等比数列结构，是对数刻度的最早应用。

运算练兵场：本题涉及频率计算、等比数列、指数运算，是对运算能力的综合训练。

综合题常客：音律问题在高考中常与数列、三角函数结合，考查数学建模能力。

思考与拓展

1. 查阅资料：十二律和十二平均律有什么区别？哪个更精确？

2. 如果黄钟的频率是 440 Hz，那么林钟的频率是多少？（提示：林钟是黄钟的 $\frac{2}{3}$）

3. 三分损益法能精确生成十二律吗？为什么？

一句话总结

《考工记》记录了乐器制作的数学规范——音高与弦长的反比关系、十二律的等比结构，是中国古代声学与数学的结合。