第7讲 均值不等式拓展——从二元到多元，从和定到积定

从一个朴素的问题开始

还记得第2讲的基本不等式吗？对任意两个正数 $a, b$：

$\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

等号当且仅当 $a = b$ 时成立。

现在问题来了：这个不等式能推广到三个数吗？四个数？$n$ 个数？

直觉上应该可以——三个正数的「平均」，总该有个合理的不等关系吧？答案是可以，而且推广后的形式非常漂亮，应用也极其广泛。

三元均值不等式

对于任意三个正数 $a, b, c$，有：

$\dfrac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$

当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立。

左边是算术平均数，右边是几何平均数，所以这也叫 AM-GM 不等式（Arithmetic Mean ≥ Geometric Mean）。

证明思路：可以从二元 AM-GM 出发，通过巧妙的代换和反复使用二元结论来推出三元形式。但高中阶段更重要的是理解和会用，而不是死记证明。

例：已知 $x, y, z > 0$ 且 $x + y + z = 1$，求 $xyz$ 的最大值。

由三元 AM-GM： $\dfrac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$ 代入 $x+y+z=1$： $\dfrac{1}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$ 两边立方： $xyz \le \dfrac{1}{27}$

等号成立当且仅当 $x = y = z = \dfrac{1}{3}$。所以 $xyz$ 的最大值是 $\dfrac{1}{27}$。

n元均值不等式

三元的形式可以自然推广到 $n$ 个正数：

$\dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \qquad (7.1)$

当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时等号成立。

这是均值不等式的完整形式，简称 AM-GM 不等式。它在数学竞赛、高等数学中都有广泛应用。

记忆口诀：算术平均 ≥ 几何平均，等号当且仅当所有数相等。

常见变形

由 (7.1) 可以直接推出几个常用的变形形式：

积的上界： $a_1 a_2 \cdots a_n \le \left(\dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\right)^n$

和的下界： $a_1 + a_2 + \cdots + a_n \ge n\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$

这两个变形就是「和定积最大，积定和最小」的 $n$ 元版本。

示意图

对勾函数：$f(x) = x + \dfrac{a}{x}$

均值不等式有一个非常重要的应用——研究对勾函数的图像和性质。

形如 $f(x) = x + \dfrac{a}{x}$（$a > 0$）的函数叫做对勾函数（也叫「耐克函数」，因为图像像 Nike 的勾）。

定义域与奇偶性

定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$。因为 $f(-x) = -x + \dfrac{a}{-x} = -\left(x + \dfrac{a}{x}\right) = -f(x)$，所以是奇函数，图像关于原点对称。我们只需要分析 $x > 0$ 的情况，$x < 0$ 的情况由对称性得到。

$x > 0$ 时的性质

由均值不等式，对 $x > 0$： $f(x) = x + \dfrac{a}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{a}{x}} = 2\sqrt{a}$

等号成立当且仅当 $x = \dfrac{a}{x}$，即 $x = \sqrt{a}$。

所以 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上的最小值是 $2\sqrt{a}$，在 $x = \sqrt{a}$ 处取得。

单调性

进一步分析单调性（可以通过导数或均值不等式的变形）：

• 在 $(0, \sqrt{a}]$ 上，$f(x)$ 单调递减
• 在 $[\sqrt{a}, +\infty)$ 上，$f(x)$ 单调递增

原因：取 $0 < x_1 < x_2 \le \sqrt{a}$，则 $f(x_1) - f(x_2) = (x_1 - x_2) + a\left(\dfrac{1}{x_1} - \dfrac{1}{x_2}\right) = (x_1 - x_2)\left(1 - \dfrac{a}{x_1 x_2}\right)$ 因为 $x_1 x_2 < a$，所以 $\dfrac{a}{x_1 x_2} > 1$，括号内为负，而 $x_1 - x_2 < 0$，所以 $f(x_1) - f(x_2) > 0$，即 $f(x_1) > f(x_2)$，函数递减。

类似地可以证明在 $[\sqrt{a}, +\infty)$ 上递增。

图像特征

对勾函数的图像（$a > 0$）：

• 第一象限：从 $+\infty$ 下降，在 $(\sqrt{a}, 2\sqrt{a})$ 处达到最低点，然后上升趋向 $+\infty$
• 第三象限：由奇对称性，从 $-\infty$ 上升到 $(-\sqrt{a}, -2\sqrt{a})$ 处达到最高点，然后下降趋向 $-\infty$
• 渐近线：$x = 0$（y 轴）和 $y = x$（斜渐近线）

这就是为什么它叫「对勾」函数——图像像一个勾。

深入理解

1 的代换技巧

均值不等式在高考中最常见的应用之一是「1 的代换」——当题目给出 $x + y = 1$（或某个常数）的条件，要求 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$（或类似形式）的最值时，用条件式去「乘开」目标式。

例：已知 $x > 0, y > 0$ 且 $x + 2y = 1$，求 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ 的最小值。

技巧：把 1 替换成 $x + 2y$： $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \cdot 1 = \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right)(x + 2y)$ 展开： $= 1 + \dfrac{2y}{x} + \dfrac{x}{y} + 2 = 3 + \dfrac{2y}{x} + \dfrac{x}{y}$ 对 $\dfrac{2y}{x} + \dfrac{x}{y}$ 用均值不等式： $\dfrac{2y}{x} + \dfrac{x}{y} \ge 2\sqrt{\dfrac{2y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}} = 2\sqrt{2}$ 所以 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 3 + 2\sqrt{2}$。

等号成立当且仅当 $\dfrac{2y}{x} = \dfrac{x}{y}$，即 $x^2 = 2y^2$，$x = \sqrt{2}y$。结合 $x + 2y = 1$，得 $y = \dfrac{1}{2+\sqrt{2}} = \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$，$x = \sqrt{2} - 1$。

关键：用条件式替换 1，展开后用均值不等式消去变量，这是处理这类问题的标准套路。

恒成立问题

均值不等式还常用于处理恒成立问题——求参数的取值范围，使得某个不等式对一切合法的变量都成立。

例：已知 $x > 0$，不等式 $x + \dfrac{1}{x} \ge a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

由均值不等式，$x + \dfrac{1}{x} \ge 2$（当且仅当 $x = 1$ 时取等号）。所以要使 $x + \dfrac{1}{x} \ge a$ 恒成立，只需要 $a \le \left(x + \dfrac{1}{x}\right)_{\min} = 2$。

所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 2]$。

解题思路：恒成立问题转化为最值问题——只要参数不超过（或不小于）函数的最值就行。

最值反求参数

反过来，如果知道某个式子的最小值（或最大值），可以反推参数的取值。

例：已知 $x > 0$，函数 $f(x) = x + \dfrac{a}{x}$ 的最小值为 4，求 $a$ 的值。

由均值不等式，$f(x) = x + \dfrac{a}{x} \ge 2\sqrt{a}$（当 $a > 0$ 时）。所以最小值是 $2\sqrt{a}$。

由题设：$2\sqrt{a} = 4$，解得 $a = 4$。

验证：$f(x) = x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt{4} = 4$，当且仅当 $x = 2$ 时取等号，符合题意。

易错提醒

1. 等号条件要检查：用均值不等式求最值后，必须验证等号成立的条件是否在定义域内。如果不在，这个最值是「够不着的」。
2. 正数条件不能忘：均值不等式只对正数成立。如果遇到含参数的式子，需要先讨论参数的符号。
3. 凑配技巧：很多题目不会直接给出可以用均值不等式的形式，需要配凑系数——比如在 $x + \dfrac{1}{x^2}$ 中，需要写成 $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{x^2}$ 才能用三元均值不等式消去 $x$。

在高中数学体系里的位置

均值不等式的 $n$ 元推广是高中数学中「不等式工具」板块的重要内容，它在多个领域都有应用。

和函数的联系：对勾函数是高中阶段少数几个需要分段讨论单调性的函数之一，它的极值点 $\sqrt{a}$ 正是由均值不等式决定的。研究对勾函数的图像和性质，是理解函数最值问题的重要环节。

和数列的联系：等差数列的等差中项和等比数列的等比中项，本质上就是算术平均和几何平均的关系。均值不等式说明：等差中项永远不小于等比中项。

和解析几何的联系：圆锥曲线中的最值问题、面积问题，经常需要构造均值不等式的形式来求解。

高考地位：均值不等式的 $n$ 元推广本身很少直接考大题，但它的应用无处不在——选择题中考基本性质的理解，填空题中考最值问题，解答题中考含参数的不等式证明。难度中等，是高考数学的「必会」内容。

思考与拓展

1. 已知 $x > 0$，求 $f(x) = x + \dfrac{4}{x+1}$ 的最小值。（提示：先配凑，令 $t = x+1$）
2. 已知 $a, b, c > 0$ 且 $a + b + c = 1$，求 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ 的最小值。（提示：用「1 的代换」展开）
3. 证明：对任意正数 $a, b, c$，有 $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$。（提示：这是 Nesbitt 不等式，可以用排序不等式或均值不等式证明）
4. 对勾函数 $f(x) = x + \dfrac{a}{x}$ 在什么条件下是单调的？你能画出 $a < 0$ 时的图像吗？

一句话总结

均值不等式从二元推广到 $n$ 元：算术平均 ≥ 几何平均。对勾函数是它的图像化身，「1 的代换」是最值问题的标准套路。