第5讲 不等式的证明——比较法、综合法、分析法

从一个朴素的问题开始

证明 $a^2 + b^2 \ge 2ab$（$a, b$ 为任意实数）。

你可能会想：把右边移到左边，$a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \ge 0$，证完了。

这个证明很简洁，但你想过没有：为什么这样就能证明？ 从 $(a-b)^2 \ge 0$ 推出来 $a^2 + b^2 \ge 2ab$，这个逻辑链条是单向的，还是双向的？如果我把不等号方向搞反了怎么办？

这一讲我们就来搞清楚不等式证明的基本方法——不是背套路，而是理解每种方法的逻辑结构。

作差比较法：和零比

这是最朴素、最直接的不等式证明方法。

基本原理：要证明 $A \ge B$，只需要证明 $A - B \ge 0$。

因为 $A - B \ge 0$ 和 $A \ge B$ 是等价的（互相可以推出），所以只要算出 $A - B$ 并判断它的符号，原不等式就证明了。

例：证明 $a^2 + b^2 \ge 2ab$。

作差：$a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \ge 0$。

因为任何实数的平方都非负，所以 $(a-b)^2 \ge 0$ 恒成立，等号当且仅当 $a = b$ 时取到。

证完了。核心思想就是「把差变成一个明显非负的式子」——配方、因式分解、提公因式，都是常用的手段。

什么时候用「配方」，什么时候用「因式分解」？

看 $A - B$ 的形势：

• 如果是二次式，优先配方——配成完全平方式，一眼看出非负。
• 如果能因式分解成若干个明显非负（或同号）的因式的乘积，就用因式分解。

例：证明 $a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc$（$a, b, c > 0$）。

作差后因式分解： $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $= \frac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right]$ 因为 $a, b, c > 0$，所以 $a+b+c > 0$，括号里的三个平方和 $\ge 0$，整体 $\ge 0$。

这个例子告诉我们：因式分解是作差法的"放大镜"——把复杂的差拆成几个因子，每个因子的符号一目了然。

作商比较法：和一比

当 $A, B$ 都是正数的时候，除了作差，还可以作商——比较 $A/B$ 和 1 的大小。

基本原理：$A, B > 0$ 时，$A \ge B \iff \dfrac{A}{B} \ge 1$。

作商比较法在以下情形特别好用：

• 式子是乘积或商的形式，作差不容易看出符号，但作商后很多项可以约掉
• 涉及指数式，比如比较 $2^{0.3}$ 和 $3^{0.2}$ 的大小

例：比较 $2^{0.3}$ 和 $3^{0.2}$ 的大小。

作商：$\dfrac{2^{0.3}}{3^{0.2}} = \dfrac{2^{3/10}}{3^{1/5}} = \dfrac{2^{3/10}}{3^{2/10}} = \left(\dfrac{8}{9}\right)^{1/10}$。

因为 $8 < 9$，所以 $\dfrac{8}{9} < 1$，从而 $\left(\dfrac{8}{9}\right)^{1/10} < 1$。

所以 $2^{0.3} < 3^{0.2}$。

关键提醒：作商比较法的前提是两个数都为正。如果一正一负或都是负的，不能直接用——先判断符号再做除法。

示意图

证明 $A \ge B$ 的三种基本方法：作差法（和 0 比）、作商法（和 1 比）、分析法（执果索因）

综合法：从已知推结论

综合法是顺推——从已知的不等式（公理、定理、已知条件）出发，一步步推出要证的结论。

逻辑结构：已知 $P$，由 $P$ 推出 $Q_1$，由 $Q_1$ 推出 $Q_2$，……，由 $Q_n$ 推出结论 $R$。

例：已知 $a > 0, b > 0$，证明 $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$。

由基本不等式（AM ≥ GM）： $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}} = 2\sqrt{1} = 2$ 证完。

这就是综合法的典型用法——直接调用已知工具（基本不等式），一步到位。

综合法的优点是思路清晰、步骤简洁，但缺点是有时候很难想到要用哪个不等式——特别是题目条件复杂的时候，从条件出发看不出往哪个方向推。

分析法：执果索因

分析法是逆推——从要证的结论出发，倒着推需要什么条件，直到这些条件变成已知事实。

逻辑结构：要证 $R$，只需证 $Q_n$；要证 $Q_n$，只需证 $Q_{n-1}$；……；要证 $Q_1$，只需证 $P$；而 $P$ 已知成立。

例：已知 $a > 0, b > 0$，证明 $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$。

分析法写法： 要证 $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$， 只需证 $\dfrac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2$， 只需证 $a^2 + b^2 \ge 2ab$， 只需证 $a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$， 只需证 $(a-b)^2 \ge 0$。 这显然成立，所以原不等式得证。

注意：分析法里每一步都用「只需证」，意味着后面一步是前面一步的充分条件。最后一步成立，往回推，原不等式就成立了。

综合法 vs 分析法：什么时候用哪个？

	综合法	分析法
思路方向	从条件 → 结论	从结论 → 条件
优点	书写简洁，逻辑清晰	容易找到思路，不容易漏
缺点	需要"灵感"找对工具	书写稍显啰嗦
适用	有明显已知工具可套用	条件复杂，看不出直接路径

实战建议：先用分析法找思路（倒着推），再用综合法写过程（正着推）。考试时直接写综合法过程就够了，但写之前一定要自己用分析法走过一遍，不然很容易卡壳。

放缩法：适度" cheating"

放缩法是不等式证明里最常用的技巧之一——把一个复杂的式子放大或缩小成一个你熟悉的形式，然后证明这个熟悉的形式满足要求。

原理：如果要证 $A \ge B$，可以找一个中间量 $C$，使得 $A \ge C \ge B$，然后分别证明这两个不等式。

放缩法的关键在于放缩得当——放得太狠，中间量比 $B$ 还小，那就证明不了；缩得太紧，中间量又比 $A$ 还大，也没用。

例：证明 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} < \ln n$（$n \ge 2$，此题用积分放缩，高中阶段作为了解）。

更简单的高中例题：证明 $\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)} < 1$。

裂项放缩：注意到 $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$，所以 $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)} = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} < 1$ 证完。

放缩的常见套路：

1. 裂项相消：把每一项拆成两项之差，中间项抵消
2. 放大分母、缩小分数：$\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}$
3. 用已知不等式整体放缩：比如用 $e^x \ge 1+x$ 来放缩指数式
4. 均值不等式放缩：把和式放成积的形式，或反过来

深入理解

不等号的方向：什么时候可以"乘除"

在不等式变形中，乘除运算是最容易出错的。回顾一下：

• 乘以正数：不等号方向不变
• 乘以负数：不等号方向必须改变
• 除以正数：不等号方向不变
• 除以负数：不等号方向必须改变

例：证明 $x > 3 \implies -2x < -6$。两边乘 $-2$（负数），不等号变向：$-2x < -6$。

不等式的可加性 vs 可乘性

不等式有可加性（同向不等式可以相加），但不能随意相乘——相乘需要所有项都为正。

错误示范：由 $5 > 3$ 和 $-2 > -5$，推出 $5 \times (-2) > 3 \times (-5)$，即 $-10 > -15$。这个结论虽然对，但推理过程是错的——因为第二个不等式两边是负数，不能直接相乘。

正确做法：先判断符号，再决定操作。两个同向不等式相乘，必须保证两边都是正数。

证明不等式时的常见错误

1. 循环论证：把要证的结论当成已知条件来用。分析法写出来的过程，每一步都必须是"充分条件"，不能反过来。
2. 忽略了等号成立的条件：证明完不等式后，要说明什么时候取等号——这往往是题目的隐藏要求。
3. 放缩过度：把一个式子放缩得太厉害，导致放缩后的式子比目标值还差，证明失败。
4. 除法时忘了讨论除数的符号：在不等式两边同时除以一个含参数的式子时，必须讨论它的正负。

在高中数学体系里的位置

不等式证明在高中数学里是一个「能力型」考点——它考察的不是公式的记忆，而是对不等式本质的理解和灵活运用能力。

和函数的联系：证明函数不等式（如 $f(x) \ge g(x)$）是导数压轴题的常见形式，本质是作差后求最小值。

和数列的联系：数列求和的不等式证明几乎都要用放缩法（裂项放缩、均值放缩、积分放缩）。

和解析几何的联系：圆锥曲线中的范围问题，经常需要证明某个代数式满足某个不等式。

高考地位：不等式证明在高考中通常出现在选择题（判断不等式是否正确）、填空题（证明简单的不等式）或解答题（数列不等式、函数不等式）。难度中等偏上，区分度较好。

思考与拓展

1. 用三种方法分别证明：$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$（$a, b, c \in \mathbb{R}$）。
2. 已知 $a, b, c$ 为正数，证明 $\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$。（提示：这是 Nesbitt 不等式，可以用排序不等式或柯西不等式证明）
3. 证明：对任意正整数 $n$，有 $\dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$。（提示：用放缩法，$\dfrac{1}{\sqrt{k}} > \dfrac{2}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$）
4. 什么是"循环论证"？在不等式证明中，如何避免循环论证？

一句话总结

证明不等式有三种武器：作差法（和 0 比）、作商法（和 1 比）、分析法（执果索因）；放缩法是进阶技巧——找对中间量，证明就成功了一半。