第4讲 绝对值不等式——数轴上的距离语言

从一个朴素的问题开始

你站在数轴的原点，先向右走 3 个单位，再向左走 5 个单位，你现在在哪里？——在 -2。

现在换个说法：一个点到原点的距离是 3，这个点在哪里？——有两个可能：3 或者 -3。

这就是绝对值的本质：$|x|$ 表示数轴上点 $x$ 到原点的距离。 距离是非负的，所以 $|x| \ge 0$ 恒成立。

有了这个几何理解，绝对值不等式就不再是"分类讨论的死记硬背"，而是"距离的约束"——解起来自然多了。

基本类型：$|x| < a$ 与 $|x| > a$

类型一：$|x| < a$（$a > 0$）

$|x| < a$ 的意思是：$x$ 到原点的距离小于 $a$。

在数轴上画出来：原点左右各 $a$ 个单位，距离小于 $a$ 的点，就是这两点之间的所有点。

所以 $|x| < a$ 的解集是 $-a < x < a$，也就是 $x \in (-a, a)$。

口诀：「小于取中间」。

类型二：$|x| > a$（$a > 0$）

$|x| > a$ 的意思是：$x$ 到原点的距离大于 $a$。

在数轴上：距离原点超过 $a$ 的点，就是在 $-a$ 左边或 $a$ 右边的所有点。

所以 $|x| > a$ 的解集是 $x < -a$ 或 $x > a$。

口诀：「大于取两边」。

需要注意的特殊情况

如果 $a = 0$：$|x| < 0$ 无解（距离不能为负），$|x| > 0$ 的解是 $x \neq 0$。

如果 $a < 0$：$|x| < a$ 无解（距离不可能小于负数），$|x| > a$ 恒成立（距离永远大于负数）。

所以用这两种基本形式解绝对值不等式时，先把右边的常数化为正数，再套公式。

示意图

左边：|x| &lt; 3 的解集是 $(-3, 3)$——数轴上以原点为中心长度为 6 的开区间
右边：|x| &gt; 3 的解集是 $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$——数轴上两端的两条射线

$|f(x)| < a$ 型：先换元再分解

有了基本的 $|x| < a$ 和 $|x| > a$，处理 $|f(x)| < a$ 就简单了——把 $f(x)$ 整体看成 $x$。

核心公式（$a > 0$）：

$|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a \qquad (4.1)$

$|f(x)| > a \iff f(x) < -a \text{ 或 } f(x) > a \qquad (4.2)$

例：解不等式 $|2x - 1| < 5$。

由 (4.1)：$-5 < 2x - 1 < 5$，各边加 1：$-4 < 2x < 6$，除以 2：$-2 < x < 3$。

所以解集是 $(-2, 3)$。

例：解不等式 $|3x + 2| \ge 4$。

由 (4.2)：$3x + 2 \le -4$ 或 $3x + 2 \ge 4$。

分别解：$x \le -2$ 或 $x \ge \dfrac{2}{3}$。

解集是 $(-\infty, -2] \cup \left[\dfrac{2}{3}, +\infty\right)$。

关键提醒：公式 (4.1)(4.2) 成立的前提是 $a > 0$。如果右边是 0 或负数，要单独讨论。

零点分段法：$|x - a| + |x - b|$ 型

当绝对值里面不止一个，而且不是简单的 $|f(x)| < a$ 型时，怎么办？——零点分段法。

核心思想：找每个绝对值内部的「零点」（让绝对值里等于 0 的 $x$ 值），把这些零点从小到大排，它们把数轴分成若干区间。在每个区间里，每个绝对值内部都是正的或负的，可以去掉绝对值符号，变成普通的一次不等式。

例：解不等式 $|x - 1| + |x + 2| \ge 5$。

第一步：找零点。$|x - 1|$ 的零点是 $x = 1$，$|x + 2|$ 的零点是 $x = -2$。

第二步：分段。零点 $-2, 1$ 把数轴分成三段：

• 区间一：$x < -2$。此时 $x - 1 < 0$，$x + 2 < 0$，所以 $|x-1| = -(x-1) = 1-x$，$|x+2| = -(x+2) = -x-2$。 不等式变成：$(1-x) + (-x-2) \ge 5$，即 $-2x - 1 \ge 5$，解得 $x \le -3$。 和区间条件 $x < -2$ 取交集：$x \le -3$。

• 区间二：$-2 \le x < 1$。此时 $x - 1 < 0$，$x + 2 \ge 0$，所以 $|x-1| = 1-x$，$|x+2| = x+2$。 不等式变成：$(1-x) + (x+2) \ge 5$，即 $3 \ge 5$，这是假命题，此区间无解。

• 区间三：$x \ge 1$。此时 $x - 1 \ge 0$，$x + 2 > 0$，所以 $|x-1| = x-1$，$|x+2| = x+2$。 不等式变成：$(x-1) + (x+2) \ge 5$，即 $2x + 1 \ge 5$，解得 $x \ge 2$。 和区间条件 $x \ge 1$ 取交集：$x \ge 2$。

第三步：取并集。$x \le -3$ 或 $x \ge 2$。

解集是 $(-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$。

检查：取 $x = -3$，$|-3-1| + |-3+2| = 4 + 1 = 5$，满足 $\ge 5$；取 $x = 0$（在区间二内），$|-1| + |2| = 3 < 5$，不满足——和我们的结论一致。

深入理解

几何意义：数轴上的距离之和

$|x - a|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $a$ 的距离。所以 $|x - a| + |x - b|$ 表示点 $x$ 到点 $a$ 和点 $b$ 的距离之和。

当 $a < b$ 时，函数 $f(x) = |x - a| + |x - b|$ 的图像是一个"碗形"（V 字的变形）：

• 当 $x$ 在 $a$ 和 $b$ 之间（包括端点）时，$f(x) = b - a$（常数）
• 当 $x < a$ 时，$f(x) = (a - x) + (b - x) = a + b - 2x$，是一条斜率为 $-2$ 的射线
• 当 $x > b$ 时，$f(x) = (x - a) + (x - b) = 2x - a - b$，是一条斜率为 $2$ 的射线

所以 $f(x)$ 的最小值是 $b - a$，在 $[a, b]$ 上取到。

这意味着什么？ 不等式 $|x - a| + |x - b| \ge c$：

• 如果 $c \le b - a$，解集是全体实数（因为最小值已经是 $b-a$，不小于 $c$）
• 如果 $c > b - a$，解集是在区间 $[a, b]$ 外侧的两个区域

绝对值三角不等式

这是绝对值不等式最重要的一条性质：

$||a| - |b|| \le |a + b| \le |a| + |b| \qquad (4.3)$

右边的 $|a + b| \le |a| + |b|$ 就是经典的三角不等式（取 $b$ 为 $-b$ 可得 $|a - b| \le |a| + |b|$）。左边的 $||a| - |b|| \le |a + b|$ 给出了绝对值和的下界。

直观理解：三角形两边之和大于第三边——如果 $a, b$ 代表两条有向线段的长度，那么 $|a+b|$（合起来的长度）不可能超过 $|a| + |b|$（分开走的总路程）。

等号成立条件：

• $|a + b| = |a| + |b|$ 当且仅当 $ab \ge 0$（同号或至少一个为零）
• $|a + b| = ||a| - |b||$ 当且仅当 $ab \le 0$（异号或至少一个为零）

应用举例：证明 $|x - 1| + |x + 2| \ge 3$。

由三角不等式：$|x - 1| + |x + 2| = |x - 1| + |-x - 2| \ge |(x - 1) + (-x - 2)| = |-3| = 3$。

等号成立当且仅当 $(x-1)$ 和 $(-x-2)$ 异号，即 $(x-1)(-x-2) \le 0$，解得 $x \in [-2, 1]$——正好和我们前面零点分段的结果一致：在 $[-2, 1]$ 上函数值恒为 3。

绝对值不等式的常见误区

1. 把 $|x| < a$ 的解写成 $x < a$：忘了左边还有 $-a < x$ 的约束。记住：小于取中间。
2. 忽略 $a$ 的正负：直接用公式时没有先确认右边常数是否为正。
3. 零点分段后忘记和区间取交集：分段求解后，每段的结果必须和该段的定义域取交集，最后再取并集。
4. 三角不等式等号条件搞反：$|a+b|=|a|+|b|$ 要求同号，不是异号。

在高中数学体系里的位置

绝对值不等式在高中数学里处于一个「承上启下」的位置——它既是对初中绝对值知识的深化，也是后续学习函数、不等式证明的重要工具。

和函数的联系：绝对值函数 $y = |x|$ 是最基本的分段函数，它的图像是 V 字形。学习绝对值不等式，本质上就是研究这类分段函数的性质。对勾函数（第7讲）的图像分析也用到了类似的分类讨论思想。

和证明的联系：三角不等式是不等式证明里最常用的工具之一。在数列极限的证明、函数的连续性证明中，三角不等式几乎是必用的武器。

高考地位：绝对值不等式在高考中通常以两种形式出现——一是直接解含绝对值的不等式（选择题或填空题），二是作为工具出现在函数、不等式证明的大题中。含多个绝对值的不等式（零点分段法）是高考的常考题型，难度中等。

思考与拓展

1. 解不等式：$|2x + 1| - |x - 3| < 2$。（提示：两个零点 $-\dfrac{1}{2}$ 和 $3$，分成三段讨论）
2. 已知 $|x - 1| \le 2$，$|y + 2| \le 3$，求 $|x + y|$ 的最大值。（提示：用三角不等式 $|x+y| \le |x-1| + |y+2| + 3$）
3. 证明：对任意实数 $a, b$，有 $|a - b| \ge ||a| - |b||$。（提示：从三角不等式 $|a| = |a - b + b| \le |a-b| + |b|$ 推导）
4. 函数 $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3|$，求它的最小值。（提示：奇数个零点时，最小值在中点处取到）

一句话总结

绝对值就是距离——$|x| < a$ 是「离原点不到 $a$」（中间），$|x| > a$ 是「离原点超过 $a$」（两边）；多个绝对值用零点分段，三角不等式是证明的利器。