第3讲 一元二次不等式——从函数图像看解集

从一个问题开始

解不等式 $x^2 - 3x + 2 > 0$。

你可能会说：因式分解，$(x-1)(x-2) > 0$，所以 $x < 1$ 或 $x > 2$。

但为什么是「或」而不是「且」？为什么解集是两边而不是中间？你是真的理解了，还是只是背了口诀？

这一讲我们就来搞清楚：一元二次不等式的解集，到底是怎么来的。

一元二次不等式的一般形式

形如 $ax^2 + bx + c > 0$（或 $< 0, \ge, \le$）的不等式，其中 $a \neq 0$，叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式，最朴素的思路是「因式分解 + 符号分析」，但更直观、更不容易错的方法是——结合二次函数的图像来看。

我们知道，二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像是一条抛物线。不等式 $ax^2 + bx + c > 0$，问的就是：$x$ 取什么值的时候，抛物线在 x 轴上方？

这样一问，问题就从「解不等式」变成了「看图说话」。

示意图

三种情况，一张图搞定

二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a > 0$，开口向上）和 x 轴的位置关系，取决于判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$。一共三种情况：

情况一：$\Delta > 0$，抛物线和 x 轴有两个交点

设两根为 $x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）。

• $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集：$x < x_1$ 或 $x > x_2$（抛物线在 x 轴上方的部分）
• $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集：$x_1 < x < x_2$（抛物线在 x 轴下方的部分）

这就是口诀「大于取两边，小于取中间」的来源——但这个口诀只在 $a > 0$、$\Delta > 0$ 的时候成立。开口向下的话，上下反过来，口诀也得反过来。

所以我建议你不要背口诀，而是画个图。 画个开口方向，标两根，大于就是 x 轴上方，小于就是下方，解集一眼就看出来了。

情况二：$\Delta = 0$，抛物线和 x 轴相切（一个交点）

这时候抛物线顶点刚好在 x 轴上。

• $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集：$x \neq x_0$ 的全体实数（除了顶点，都在上方）
• $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集：无解（因为抛物线开口向上，最低点都在 x 轴上，不可能在下方）
• $ax^2 + bx + c \ge 0$ 的解集：全体实数
• $ax^2 + bx + c \le 0$ 的解集：$x = x_0$（只有顶点一点）

情况三：$\Delta < 0$，抛物线和 x 轴没有交点

这时候整条抛物线都在 x 轴上方。

• $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集：全体实数
• $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集：无解

如果 $a < 0$（开口向下），只要把图像翻过来，结论正好相反。还是那句话——别背，画图。

解一元二次不等式的步骤

总结一下，解一元二次不等式的标准步骤：

1. 化标准：把不等式化成 $ax^2 + bx + c > 0$ 的形式，最好让二次项系数 $a > 0$（不等号方向注意是否要变）
2. 算判别式：计算 $\Delta = b^2 - 4ac$，判断抛物线和 x 轴有几个交点
3. 求根：如果 $\Delta \ge 0$，求出对应方程的两个根 $x_1, x_2$
4. 画图标解集：画个开口向上的抛物线，标上交点，看不等式是「大于 0」还是「小于 0」，对应写出解集

举个例子：解不等式 $-x^2 + 2x + 3 > 0$。

第一步，两边乘 $-1$，不等号变向：$x^2 - 2x - 3 < 0$。

第二步，$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$，有两个交点。

第三步，求根：$x = \dfrac{2 \pm 4}{2}$，即 $x_1 = -1, x_2 = 3$。

第四步，画图：开口向上，和 x 轴交于 $-1$ 和 $3$，不等式是「< 0」，取中间部分。

所以解集是 $-1 < x < 3$。

含参数的一元二次不等式

上面说的都是系数确定的情况。如果不等式里含有参数，情况就复杂一些——参数的取值会影响判别式、影响根的大小。

比如解关于 $x$ 的不等式：$x^2 - (a+1)x + a < 0$。

因式分解：$(x-1)(x-a) < 0$。

这时候对应的方程有两个根：$1$ 和 $a$。但哪个大哪个小？不知道，取决于 $a$ 和 1 的大小关系。

所以要分类讨论：

• 当 $a > 1$ 时，解集是 $1 < x < a$
• 当 $a = 1$ 时，不等式变成 $(x-1)^2 < 0$，无解
• 当 $a < 1$ 时，解集是 $a < x < 1$

含参不等式是高考的难点，关键是找到分类讨论的依据——哪个参数会影响解集？影响在哪里？一般来说，影响开口方向的（$a$ 的符号）、影响判别式的、影响根的大小关系的，都是分类讨论的触发点。

不等式恒成立问题

一元二次不等式还有一类重要的应用——恒成立问题。

比如：「对于任意实数 $x$，$ax^2 + ax + 1 > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。」

这句话的意思是：不管 $x$ 取什么值，这个式子都大于 0。 对应到图像上，就是整条抛物线都在 x 轴上方。

那条件是什么呢？

• 如果 $a > 0$（开口向上），且 $\Delta < 0$（和 x 轴没有交点），那么整条抛物线都在 x 轴上方，满足条件
• 如果 $a = 0$，不等式变成 $1 > 0$，也恒成立
• 如果 $a < 0$，抛物线开口向下，肯定有在 x 轴下方的部分，不满足

所以答案是 $0 \le a < 4$（验证一下：$a > 0$ 时 $\Delta = a^2 - 4a < 0$，即 $0 < a < 4$，加上 $a = 0$ 的情况，总共 $0 \le a < 4$）。

恒成立问题的本质：最值问题。 「$f(x) > 0$ 恒成立」等价于「$f(x)$ 的最小值大于 0」。对于二次函数来说，最小值就是顶点的函数值。

在高中数学体系里的位置

一元二次不等式是高中数学的「基础设施」——你学函数的定义域、值域要用到，学集合的运算要用到，学导数要用到，学圆锥曲线的范围问题也要用到。

和二次函数的关系：一元二次不等式和二次函数、一元二次方程合称为「三个二次」，它们是一个有机的整体——方程的根是函数的零点，不等式的解集是函数图像在 x 轴上方或下方的部分。打通了这三者的关系，二次就真正学通了。

高考地位：一元二次不等式很少单独考大题，但它无处不在——选择题里考解法、恒成立问题，填空题里考含参讨论，解答题里作为工具出现在函数、数列、解析几何中。不会解一元二次不等式，高中数学基本寸步难行。

易错点：

1. 二次项系数为负时，忘了变不等号方向
2. 直接用「大于取两边小于取中间」的口诀，不管开口方向
3. 含参问题分类讨论不完整（比如漏掉 $a = 0$ 的情况）
4. 恒成立问题不考虑二次项系数为 0 的情况

思考与拓展

1. 解不等式：$2x^2 - 3x - 2 > 0$。
2. 解不等式：$-x^2 + 4x - 4 \ge 0$。
3. 若不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ 的解集是 $\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}\right)$，求 $a + b$ 的值。（提示：解集的端点就是对应方程的根）
4. 为什么说「数形结合」是解一元二次不等式最好的方法？和因式分解法相比，它的优势在哪里？

一句话总结

解一元二次不等式别背口诀——画个抛物线，看开口方向、判别式、两根位置，大于 0 取 x 轴上方，小于 0 取下方。