第2讲 基本不等式——两个正数的故事

从一个经典问题开始

用一段长为 $L$ 的篱笆，围一个矩形的院子，怎么围面积最大？

你可能知道答案：围成正方形的时候面积最大。 正方形四边相等，边长为 $\dfrac{L}{4}$，面积为 $\left(\dfrac{L}{4}\right)^2 = \dfrac{L^2}{16}$。

但为什么正方形面积最大？矩形的长和宽不相等时，面积为什么一定更小？

这个问题的答案，藏在一个非常重要的不等式里——基本不等式（也叫均值不等式）。

基本不等式的内容

对于任意两个正数 $a, b$，有：

$$\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。

左边 $\dfrac{a+b}{2}$ 叫做算术平均数，右边 $\sqrt{ab}$ 叫做几何平均数。所以基本不等式也叫算术—几何均值不等式，简称 AM ≥ GM。

示意图

基本不等式的几何解释

我们可以用一个几何图形直观地理解基本不等式。

画一个直径为 $a+b$ 的半圆，把直径分成两段，长度分别为 $a$ 和 $b$。在分点处作直径的垂线，交半圆于一点。这条垂线的长度是多少呢？

利用射影定理（或者相似三角形），可以算出垂线的长度是 $\sqrt{ab}$。

而半圆的半径是 $\dfrac{a+b}{2}$。

从图上一眼就能看出来：半径 ≥ 垂线长度，也就是 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$。当且仅当分点在圆心处（即 $a = b$）时，垂线长度等于半径。

这就是基本不等式的几何意义——是不是比代数推导直观多了？

基本不等式的证明

基本不等式的证明方法很多，这里给一个最直接的代数证明。

我们知道，对于任何实数 $x$，都有 $x^2 \ge 0$（平方数非负）。

令 $x = \sqrt{a} - \sqrt{b}$（因为 $a, b$ 是正数，所以可以开方），那么：

$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$$

展开左边：

$$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$$

移项得：

$$a + b \ge 2\sqrt{ab}$$

两边除以 2：

$$\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

等号什么时候成立？当且仅当 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$，也就是 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$，即 $a = b$ 时。

证完了。证明的核心就是「平方数非负」这个最朴素的事实。

「一正二定三相等」

基本不等式最常见的用途是求最值。但在用基本不等式求最值的时候，有三个前提条件，简称「一正二定三相等」。

一正：各项必须是正数

基本不等式只对正数成立。如果 $a$ 和 $b$ 是负数，直接用就错了。

比如 $a = -2,\ b = -3$，算术平均是 $-2.5$，几何平均是 $\sqrt{6} \approx 2.45$，这时候算术平均反而比几何平均小。

遇到负数怎么办？ 取绝对值或者加负号把它变成正数再用。

二定：和或积必须是定值

用基本不等式求最值，要么是「和定积最大」，要么是「积定和最小」。如果和不是定值、积也不是定值，那你得到的只是一个不等式，没法直接得到最值。

例 1（和定积最大）：已知 $x + y = 10$，$x, y > 0$，求 $xy$ 的最大值。

由基本不等式：$\dfrac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$，代入 $x+y=10$：

$5 \ge \sqrt{xy} \implies 25 \ge xy$

所以 $xy$ 的最大值是 25，当且仅当 $x = y = 5$ 时取到。

这就是我们开头那个「围篱笆」问题的答案——周长一定时，正方形面积最大。

例 2（积定和最小）：已知 $xy = 16$，$x, y > 0$，求 $x + y$ 的最小值。

由基本不等式：$x + y \ge 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{16} = 8$。

所以 $x + y$ 的最小值是 8，当且仅当 $x = y = 4$ 时取到。

三相等：等号必须能取到

你用基本不等式得到了一个下界（或上界），但这个值能不能取到？必须检查等号成立的条件。

如果等号取不到，那这个界就不是最值——它只是一个「达不到的下界」。

反例：求 $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ 在 $[2, +\infty)$ 上的最小值。

有人会直接用基本不等式：$x + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2$，所以最小值是 2。

但等号成立的条件是 $x = \dfrac{1}{x}$，即 $x = 1$，而 $x = 1$ 不在定义域 $[2, +\infty)$ 内！所以等号取不到，最小值不是 2。

实际上这个函数在 $[2, +\infty)$ 上是递增的，最小值在 $x = 2$ 处，为 $2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$。

所以用完基本不等式一定要验证：等号取得到吗？

基本不等式的变形与推广

基本不等式看起来简单，但它有很多变形和推广。

变形1：积的上界

$$ab \le \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$$

这就是「和定积最大」的直接表述。

变形2：和的下界

$$a + b \ge 2\sqrt{ab}$$

这就是「积定和最小」的直接表述。

变形3：平方平均 ≥ 算术平均

$$\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} \ge \dfrac{a + b}{2}$$

左边叫平方平均数（也叫均方根）。这个不等式告诉我们：平方平均比算术平均更大。

推广：三元及以上

基本不等式可以推广到 $n$ 个正数：

$$\dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$

当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时等号成立。

高中阶段最常用的是三元的：

$$\dfrac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$$

比如「用定长的铁皮做一个长方体箱子，怎么做容积最大？」——答案是做成立方体，和二维的情况一模一样。

在高中数学体系里的位置

基本不等式是高中数学里最有用的工具之一，几乎每个板块都能遇到它。

和函数的联系：求函数的最值，尤其是分式函数、对勾函数的最值，基本不等式经常比导数更简单。

和数列的联系：等差数列的等差中项和等比数列的等比中项，本质上就是算术平均和几何平均。基本不等式就是「等差中项 ≥ 等比中项」。

和解析几何的联系：圆锥曲线中的最值问题、面积问题，经常可以用基本不等式来处理。

和实际应用的联系：最优化问题（用料最省、利润最大、时间最短），很多都可以转化为基本不等式问题。

高考地位：基本不等式是高考的高频考点，选择题、填空题、解答题里都可能出现。难度中等，但陷阱很多——尤其是「一正二定三相等」中的某一条不满足的时候，最容易出错。

思考与拓展

1. 求函数 $y = x + \dfrac{4}{x}$（$x > 0$）的最小值，以及取最小值时 $x$ 的值。
2. 已知 $0 < x < \dfrac{1}{3}$，求函数 $y = x(1-3x)$ 的最大值。（提示：想办法让和为定值）
3. 用基本不等式证明：对于任意正数 $a, b, c$，有 $a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc$。
4. 为什么说「一正二定三相等」缺一不可？每一条不满足的时候，分别会出什么问题？

一句话总结

基本不等式：算术平均 ≥ 几何平均。求最值记住「一正二定三相等」——和定积最大，积定和最小。