第1讲 不等关系与基本性质——从「等于」到「不等于」

从一个朴素的问题开始

你去超市买东西，带了 100 块钱。买了一袋米 45 元，一桶油 52 元，还想买一盒 8 块钱的鸡蛋——钱够不够？

这个问题你大概心算一下就有答案：45 + 52 + 8 = 105，105 > 100，不够。

但你有没有想过：这个「>」和「<」，到底意味着什么？我们凭什么可以把它们当运算来用？

等式研究的是「相等」，不等式研究的是「不等」。 相等的关系只有一种，但不等的关系有很多种——大于、小于、大于等于、小于等于。正因为不等的情况更复杂，不等式才成为高中数学里一个独立的板块。

不等式的基本概念

用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个式子，表示它们之间的大小关系，这样的式子叫做不等式。

• $a > b$：$a$ 大于 $b$
• $a < b$：$a$ 小于 $b$
• $a \ge b$：$a$ 大于或等于 $b$（即 $a$ 不小于 $b$）
• $a \le b$：$a$ 小于或等于 $b$（即 $a$ 不大于 $b$）
• $a \neq b$：$a$ 不等于 $b$

其中 $>$ 和 $<$ 叫严格不等号，$\ge$ 和 $\le$ 叫非严格不等号。

一个很重要的思想：$a \ge b$ 的意思是「a > b 或者 a = b」，二者满足一个就成立。 比如「3 ≥ 2」是对的，因为 3 > 2；「2 ≥ 2」也是对的，因为 2 = 2。很多人初学的时候会在这里犯迷糊，觉得「3 ≥ 2」不对——因为 3 不等于 2 啊？不对，「≥」是「大于或等于」，满足一个就行。

示意图

比较大小的基本方法

比较两个数的大小，最根本的方法有两个。

作差比较法

要比较 $a$ 和 $b$ 的大小，只需要看 $a - b$ 的符号：

• $a - b > 0 \iff a > b$
• $a - b = 0 \iff a = b$
• $a - b < 0 \iff a < b$

「$\iff$」表示「等价于」，就是左右两边可以互推。

这是最基本、最朴实的方法——把「谁大谁小」的问题转化为「差是正还是负」的问题。

例：比较 $x^2 + 3$ 和 $2x + 1$ 的大小。

作差：$(x^2 + 3) - (2x + 1) = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$

因为 $(x-1)^2 \ge 0$，所以 $(x-1)^2 + 1 \ge 1 > 0$，因此 $x^2 + 3 > 2x + 1$。

作商比较法

如果两个数都是正数，也可以用除法来比较：

• $\dfrac{a}{b} > 1$ 且 $b > 0 \implies a > b$
• $\dfrac{a}{b} = 1 \iff a = b$
• $\dfrac{a}{b} < 1$ 且 $b > 0 \implies a < b$

作商比较法在指数式、乘积式中比较常用，但要注意前提是两个数都得是正数，不然不等号方向会乱。

不等式的基本性质

不等式有几条基本性质，它们是所有不等式变形的依据。

性质1：对称性

$a > b \iff b < a$

大于和小于只是方向不同，本质是一回事。

性质2：传递性

$a > b,\ b > c \implies a > c$

这个看起来是废话，但它是不等式最重要的性质之一——正因为有传递性，我们才能把一串不等式连起来写：$a < b < c < d$。

性质3：加法保序

$a > b \implies a + c > b + c$

不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。

这是不等式里最安全的操作——加任何数都不改变不等号方向。 这和等式的性质是一样的。

推论：$a > b,\ c > d \implies a + c > b + d$

同向不等式可以相加，方向不变。

性质4：乘法有条件

$a > b,\ c > 0 \implies ac > bc$ $a > b,\ c < 0 \implies ac < bc$

不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变；乘一个负数，不等号方向要变。

这是不等式和等式最大的区别——等式两边乘什么都没问题，但不等式不行，乘负数要变号。这也是初学者最容易犯错的地方。

推论1：$a > b > 0,\ c > d > 0 \implies ac > bd$

两边都是正数的同向不等式可以相乘。

推论2：$a > b > 0 \implies a^n > b^n$（$n$ 为正整数）

正数的不等式，两边同时乘方，方向不变。

性质5：倒数变号

$a > b > 0 \implies \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

两边都是正数的不等式，取倒数后不等号方向改变。

比如 $3 > 2 > 0$，取倒数：$\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}$，对的。

但要注意前提——两边必须同号（都正或都负）。如果一正一负，那就简单了：正数的倒数还是正的，负数的倒数还是负的，正的肯定比负的大。

为什么不等式这么重要

可能你觉得不等式就是一些「大于小于」的符号游戏，没什么了不起。但实际上，不等式是高中数学里最重要的工具之一。

第一，不等式和最值问题紧密相关。 求函数的最大值最小值，本质上就是解不等式——证明这个函数值永远不超过某个数，并且能取到那个数。后面学导数求最值，本质上也是用不等式的思路。

第二，不等式是很多数学分支的基础。 极限的定义需要不等式（$\epsilon\text{-}\delta$ 语言），积分估计需要不等式，概率论里的各种不等式（马尔可夫不等式、切比雪夫不等式）更是核心工具。可以说，高等数学的大厦很大程度上是用不等式砌起来的。

第三，不等式培养一种「估计」的思维方式。 现实世界里，很多时候我们不需要精确值，只需要知道「大概有多大」「最多是多少」「至少是多少」。这种「估界」的能力，是数学素养的重要组成部分。

在高中数学体系里的位置

不等式在高中数学里是一个「工具型」的板块——它本身内容不多，但到处都要用。

和其他知识的交汇：

• 和函数结合：函数的定义域、值域、单调性，都离不开不等式
• 和数列结合：数列的最值、放缩法证明数列不等式
• 和导数结合：导数压轴题里不等式证明是常客
• 和解析几何结合：圆锥曲线中的范围问题、最值问题
• 和概率统计结合：用不等式描述随机事件的范围

高考地位：不等式在高考中很少单独成大题（除非是选考的不等式选讲），但它无处不在——选择题、填空题里的不等式性质、基本不等式求最值，以及各大题中作为工具使用。总分值虽然不算高，但不会不等式，很多题根本没法做。

这个专题怎么学

在这个专题里，我们会沿着「从基础到应用」的线索走：

1. 先掌握不等式的基本性质——一切变形的依据
2. 再学几类重要的不等式——基本不等式、绝对值不等式、一元二次不等式
3. 然后学不等式的证明方法——比较法、综合法、分析法、放缩法
4. 最后学不等式的应用——求最值、解决实际问题

学不等式，关键不是背公式，而是理解每一步变形的依据——为什么这一步不等号方向不变？为什么这一步可以这样放缩？每一步都问个「为什么」，不等式就学好了。

思考与拓展

1. 判断对错：如果 $a > b$，那么 $ac^2 > bc^2$。如果不对，错在哪里？
2. 已知 $a > b > 0$，$c < d < 0$，证明：$\dfrac{a}{d} < \dfrac{b}{c}$。（提示：负数怎么处理？）
3. 比较 $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ 的大小。（提示：直接作差不太好看，试试取倒数）
4. 为什么不等式两边乘负数要变号？你能从数轴的角度解释一下吗？

一句话总结

不等式的核心是「比较大小」——作差看符号是根本，变形要小心：加什么都不变号，乘负数一定要变号。