函数与导数 · 第 16 讲 · 2026-10-10 · 约 8 分钟

导数专题小结——从变化率到工具库

总结整个导数专题。从定义出发，经过公式、法则、应用，最后回到一个核心思想：导数是研究变化的语言。

一条主线：把函数的变化化为导数的符号

知识地图

                    导数
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       概念          工具         应用
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     定义（极限）   求导法则    单调性
     几何意义      链式法则    极值最值
     瞬时变化率    隐函数求导  不等式证明
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              ┌────────┼────────┐
              │        │        │
           基本公式   高阶导数  综合应用
         (幂指对三角)  (n阶)    (零点、参数讨论)

核心公式

概念	公式
导数定义	$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
切线方程	$y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$
幂函数	$(x^n)' = nx^{n-1}$
指数函数	$(e^x)' = e^x,\ (a^x)' = a^x\ln a$
对数函数	$(\ln x)' = 1/x$
三角函数	$(\sin x)' = \cos x,\ (\cos x)' = -\sin x$
乘法法则	$(fg)' = f'g + fg'$
除法法则	$(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$
链式法则	$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

应用体系

单调性

$f'(x) > 0$ → 递增
$f'(x) < 0$ → 递减

极值

$f'(x_0) = 0$ 且变号 → 极值点
导数从正变负 → 极大值
导数从负变正 → 极小值

最值

闭区间上：比较所有极值和端点值

不等式证明

构造差函数 → 求导 → 分析单调性 → 证最值 ≥ 0

零点问题

导数找极值 → 极值符号定根的个数

一个贯穿始终的思想

化归——把复杂问题转化为简单问题：

研究函数的整体性质 → 转化为研究导数的符号
证明不等式 → 转化为研究函数的最值
讨论方程根的个数 → 转化为研究函数的零点
处理参数问题 → 转化为分类讨论临界情况

这是数学中最重要的思想方法之一，而导数是最好的训练场。

学习建议

求导要快准狠——基本公式必须背熟，看到任何函数都能秒出导数
单调性是根基——所有应用都建立在单调性分析之上
画图辅助思考——数形结合是导数题的必杀技
注意定义域——每一步都要检查定义域
书写规范——步骤完整，逻辑清晰

本章结语

从第 1 讲的"变化率"到第 15 讲的"压轴策略"，我们走过了导数的完整旅程。

导数是什么？它是变化的语言——用瞬时变化率描述事物的动态行为，用切线斜率刻画曲线的局部性质，用最值工具解决优化问题。

掌握导数，不只是掌握了一套解题工具，更是学会了一种研究变化的思维方式。

这种思维方式，在物理（速度、加速度）、经济（边际成本）、生物（种群增长）、工程（最优控制）等领域都有广泛应用。

学完导数，你不是多会了一道题，而是多了一双看世界的眼睛。

高考母题

（2021·全国乙卷） 已知函数 $f(x)=x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +ax+1$ ．
（1）讨论 $f\left ( { x } \right )$ 的单调性；
（2）求曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 过坐标原点的切线与曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 的公共点的坐标．

展开详解

(1)答案见解析；
(2) 和 $\left ( { -1，-1-a } \right )$ . 【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
(1)由函数的解析式可得： $f'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } -2x+a$ ，导函数的判别式 $Δ=4-12a$ ，当 $Δ=4-12a≤0,a≥\frac { 1 } { 3 }$ 时， $f'\left ( { x } \right )≥0,f\left ( { x } \right )$ 在R上单调递增，当时，的解为： $x_{ 1 } =\frac { 1-\sqrt{ 1-3a } } { 3 },x_{ 2 } =\frac { 1+\sqrt{ 1-3a } } { 3 }$ ，当 $x∈\left ( { -∞,\frac { 1-\sqrt{ 1-3a } } { 3 } } \right )$ 时，单调递增；当 $x∈\left ( { \frac { 1-\sqrt{ 1-3a } } { 3 },\frac { 1+\sqrt{ 1-3a } } { 3 } } \right )$ 时，单调递减；当 $x∈\left ( { \frac { 1+\sqrt{ 1-3a } } { 3 },+∞ } \right )$ 时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在 $\left ( { -∞,\frac { 1-\sqrt{ 1-3a } } { 3 } } \right )$ ， $\left ( { \frac { 1+\sqrt{ 1-3a } } { 3 },+∞ } \right )$ 上单调递增，在 $\left[ \frac { 1-\sqrt{ 1-3a } } { 3 },\frac { 1+\sqrt{ 1-3a } } { 3 } \right]$ 上单调递减.
(2)由题意可得： $f\left ( { x_{ 0 } } \right )=x_{ 0 } ^{ 3 }-x_{ 0 } ^{ 2 }+ax_{ 0 } +1$ ， $f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=3x_{ 0 } ^{ 2 }-2x_{ 0 } +a$ ，则切线方程为： $y-\left ( { x_{ 0 } ^{ 3 }-x_{ 0 } ^{ 2 }+ax_{ 0 } +1 } \right )=\left ( { 3x_{ 0 } ^{ 2 }-2x_{ 0 } +a } \right )\left ( { x-x_{ 0 } } \right )$ ，切线过坐标原点，则： $0-\left ( { x_{ 0 } ^{ 3 }-x_{ 0 } ^{ 2 }+ax_{ 0 } +1 } \right )=\left ( { 3x_{ 0 } ^{ 2 }-2x_{ 0 } +a } \right )\left ( { 0-x_{ 0 } } \right )$ , 整理可得： $2x_{ 0 } ^{ 3 }-x_{ 0 } ^{ 2 }-1=0$ ，即： $\left ( { x_{ 0 } -1 } \right )\left ( { 2x_{ 0 } ^{ 2 }+x_{ 0 } +1 } \right )=0$ ，解得：，则， $f'(x_{ 0 } )=f'\left ( { 1 } \right )=1+a$ 切线方程为： $y=\left ( { a+1 } \right )x$ , 与联立得 $x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +ax+1=(a+1)x$ ，化简得 $x ^ { 3 } -x ^ { 2 } -x+1=0$ ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， $∴\left ( { x-1 } \right )$ 是 $x ^ { 3 } -x ^ { 2 } -x+1$ 的一个因式，∴该方程可以分解因式为 $\left ( { x-1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )=0,$ 解得 $x_{ 1 } =1,x_{ 2 } =-1$ , $f\left ( { -1 } \right )=-1-a$ ，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和 $\left ( { -1，-1-a } \right )$ . 【点睛】
本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.

一句话总结

导数是变化的语言——用极限定义瞬时变化率，用导数研究函数性质，用工具解决实际问题。

— Y. · 2026-10-10

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