导数的概念——从平均变化率到瞬时变化率

平均变化率随 Δx → 0 收敛到瞬时变化率

一个最朴素的问题

仪表盘上那个数字，是整个微积分里最反直觉的一个地方。

你在高速公路上开车，仪表盘显示当前车速 100 千米/小时。这句话人人会读，可一旦追问下去就出问题了。

速度等于路程除以时间。如果我一小时开了一百公里，平均速度确实是 100。但仪表盘说的不是"过去一小时的平均"，它说的是"此刻"。此刻是多长？是一瞬间。一瞬间里时间改变量 $\Delta t = 0$，走过的路也是 0，于是速度就成了 $\dfrac{0}{0}$。

零除以零，在算术里没有意义。

矛盾摆在这儿：我们天天在用瞬时速度，却没有一个能直接算它的公式。 平均速度好算，可它不是我们要的；瞬时速度是我们要的，可它看起来算不出来。

出路只有一条——不直接算"一瞬间"，而是算"越来越短的一段时间"。让时间间隔一点点缩短，看平均速度往哪个数靠，我们就认那个数是瞬时速度。这是极限思想的用法，也是导数诞生的地方。导数不是凭空冒出来的规则，它就是为了回答"此刻到底多快"这个朴素到近乎幼稚的问题而生的。

平均变化率——我们已有的概念

先把手上有的东西说清楚，才谈得上怎么升级它。

对于函数 $y = f(x)$，当自变量从 $x$ 变到 $x + \Delta x$ 时，函数值跟着从 $f(x)$ 变到 $f(x+\Delta x)$，函数值的改变量是

$$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$$

其间自变量的改变量是 $\Delta x$。把两者相除，得到平均变化率：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \qquad (1)$$

它衡量的是函数在整段区间 $[x, x+\Delta x]$ 上"平均变多快"。注意 $\Delta x$ 可正可负，但绝不能为零——分母不能为零。这也正是平均变化率的局限：它只能描述一段区间，不能描述一个点。

看一串具体数字。设路程函数 $s(t) = t^2$（米），考察 $t = 1$ 到 $t = 3$ 这一段：路程从 1 变到 9，改变量是 8，时间改变量是 2，平均变化率就是 $8 / 2 = 4$ 米/秒。可这段时间里物体时快时慢，4 只是平均值，不代表任何一刻的真实速度。

几何上，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 就是曲线 $y=f(x)$ 上连接 $(x, f(x))$ 与 $(x+\Delta x, f(x+\Delta x))$ 两点的割线的斜率。割线跨得越宽，它和曲线本身贴得越松。

瞬时变化率——极限的思想

从割线到切线，只差"让 $\Delta x$ 趋向于零"这一步，但这一步是整个微积分的门槛。

现在做一个动作：固定 $x$，让 $\Delta x$ 越来越小——从 0.1 到 0.01，再到 0.001。区间缩成一点，但那个点是 $x$，$x$ 本身始终没动，所以 $\Delta x \neq 0$，除法永远合法。

关键看这些平均变化率往哪个数靠。如果不管 $\Delta x$ 从正方向还是负方向靠近零，比值 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 都稳稳地趋向同一个确定的数，这个数就定义为函数在 $x$ 处的瞬时变化率，记作 $f'(x)$：

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \qquad (2)$$

这就是导数的严格定义。读它有三个要点：

• $\lim$ 的意思不是"把 $\Delta x = 0$ 代进去"，而是"观察 $\Delta x$ 趋向 0 的过程中比值的趋势"。分母确实趋向 0，但我们从头到尾没让分母等于 0。
• 极限必须存在而且唯一。从左、从右逼近的结果不一样，就没有导数。
• 算出来的结果是关于 $x$ 的表达式；当 $x$ 取定一个数时，它是一个数。

回到几何。$\Delta x \to 0$ 时，点 $Q(x+\Delta x, f(x+\Delta x))$ 沿着曲线滑向点 $P(x, f(x))$，割线 $PQ$ 跟着绕 $P$ 转动。极限位置的那条直线就是切线。所以导数的几何意义就是切线斜率——割线斜率的极限。导数把"一段的平均"精确定格成了"一点的瞬时"，割线变成切线，靠的就是这一步取极限。

可导与连续

有个容易记反的直觉：可导比连续更强，连续推不出可导。

先给结论：如果函数在 $x_0$ 处可导，那它一定在 $x_0$ 处连续。道理很直白——导数存在，说明函数在这一点附近变化得稳稳当当，图像不会有断口。

反过来不成立。连续只要求图像不断开，可导还要求图像在该点附近足够光滑，能被一条切线贴住。图像可以不断，却带个"角"，那就贴不上切线。

最经典的例子是 $f(x) = |x|$，在 $x = 0$ 处。

它连续吗？连续。$x \to 0$ 时 $f(x) \to 0 = f(0)$，图像是两条在原点相接的射线，没有断开。

它可导吗？不可导。用定义硬算差商：

$$\frac{f(0+\Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$$

当 $\Delta x > 0$ 时 $|\Delta x| = \Delta x$，比值等于 1；当 $\Delta x < 0$ 时 $|\Delta x| = -\Delta x$，比值等于 $-1$。两边逼近的值不一样，极限不存在。图像在原点是个尖点，左右斜率对不上，没有唯一的切线。

左导数与右导数

尖点为什么不可导，把左右两边分开看就一目了然。

定义里那个极限要求"从左靠近、从右靠近，结果一样"。为了把这件事说精确，我们分开定义：

$$f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \qquad (3)$$ $$f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \qquad (4)$$

前者叫左导数，后者叫右导数。一个基本事实是：

$$f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 处可导} \iff f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$$

对 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处：左导数 $f'_-(0) = -1$，右导数 $f'_+(0) = 1$，两者不等，所以不可导。图像在这一点"左边往下走、右边往上走"，斜率从 $-1$ 猛地跳到 $1$，中间没有任何过渡，自然拼不出一条切线。

顺带说一句，判定分段函数在分段点是否可导，靠的就是左右导数是否相等——这是这类题的标准套路，考试里出现频率很高。

导数的三种理解

同一个东西，物理、几何、代数三副面孔，切换得越顺，题就做得越活。

1. 物理角度：瞬时变化率

• 位移对时间的导数，是瞬时速度；
• 速度对时间的导数，是瞬时加速度；
• 电量对时间的导数，是瞬时电流。

凡是"某个量对另一个量的瞬时变化快慢"，说的都是导数。

2. 几何角度：切线斜率

导数 $f'(x_0)$ 就是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。$f'(x_0) > 0$，曲线上升；$f'(x_0) < 0$，曲线下降；$f'(x_0) = 0$，切线水平。

3. 代数角度：线性逼近

在 $x_0$ 附近，$f(x)$ 可以用一个一次函数近似：

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$

这个一次函数的图像正是切线。导数的绝对值越大，函数在这一点附近"爬"或"跌"得越猛；导数接近 0，图像就近乎躺平。这就是"以直代曲"——用一条直线顶替一小段曲线。

导函数与某点处的导数

$f'(x_0)$ 是一个数，$f'(x)$ 是一个函数，这两样东西别混。

在某一点 $x_0$ 求出的导数 $f'(x_0)$ 是一个确定的数值，比如 $f'(1) = 2$。它是那一刻的瞬时变化率，是切线的斜率，就是一个数。

如果让 $x_0$ 变起来，对定义域里每一个能求导的 $x$ 都配上一个导数值，就得到一个新函数，记作 $f'(x)$，叫原函数的导函数。

比如 $f(x) = x^2$，逐点求导得 $f'(x) = 2x$。这时再要 $f'(1)$，只需把 1 代进去就行。导函数是"一次性铺满整条定义域"的批量结果，某点导数只是它在某个自变量处的取值。 做题时先把导函数表达式求出来，再代点，比每点单独套定义快得多。

从定义出发计算导数

背公式之前，先用定义亲手算三个，才知道那些公式是从哪冒出来的。

用定义求导，步骤固定三步：

第一步：写出差商 $\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$（分母不能为零，$\Delta x \neq 0$）。

第二步：展开、因式分解或有理化，把分子里的 $\Delta x$ 约掉——这一步是胜负手。

第三步：让 $\Delta x \to 0$，剩下的部分就是导数。

例1：$f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 处的导数

$$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x}$$ $$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^2 - 1^2}{\Delta x}$$ $$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1}{\Delta x}$$ $$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$$ $$= \lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2$$

所以 $f'(1) = 2$。一般地 $(x^2)' = 2x$，把 $x=1$ 代进去同样得 2，两条路殊途同归。

例2：$f(x) = (x+a)(x+b)$ 的导数

先展开：$f(x) = x^2 + (a+b)x + ab$。用定义：

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

分子展开后是

$$\big[(x+\Delta x)^2 + (a+b)(x+\Delta x) + ab\big] - \big[x^2 + (a+b)x + ab\big]$$ $$= 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + (a+b)\Delta x$$

除以 $\Delta x$：

$$\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + (a+b)\Delta x}{\Delta x} = 2x + \Delta x + (a+b)$$

取极限 $\Delta x \to 0$：

$$f'(x) = 2x + (a+b)$$

代几个数验一验：取 $a = 1$、$b = 2$，则 $f(x) = (x+1)(x+2)$，导函数是 $2x+3$。在 $x = 1$ 处应为 $5$。

例3：$f(x) = \dfrac{1}{x}$ 的导数（分式函数）

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\dfrac{1}{x+\Delta x} - \dfrac{1}{x}}{\Delta x}$$

先把分子通分：

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\dfrac{x - (x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x}{\Delta x \cdot x(x+\Delta x)}$$

约掉 $\Delta x$：

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} = -\frac{1}{x^2}$$

所以 $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$。结果带负号，符合"双曲线右支一路下滑"的直觉。取 $x = 2$，得 $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$。分式函数求导的关键，永远是把分子先通分，造出一个含 $\Delta x$ 的因式好约掉。

瞬时速度——把定义用起来

定义不是摆设，一道速度题就能让它活起来。

某物体沿直线运动，路程（米）与时间（秒）的关系是 $s(t) = t^2 + 3t$。求它在 $t = 2$ 秒时的瞬时速度。

先算平均速度。从 2 秒到 $2+\Delta t$ 秒，路程改变量是

$$\Delta s = s(2+\Delta t) - s(2) = \big[(2+\Delta t)^2 + 3(2+\Delta t)\big] - 10$$ $$= \big[4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2 + 6 + 3\Delta t\big] - 10 = 7\Delta t + (\Delta t)^2$$

于是平均速度

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{7\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 7 + \Delta t$$

令 $\Delta t \to 0$，得瞬时速度

$$v(2) = \lim_{\Delta t \to 0} (7 + \Delta t) = 7 \text{ 米/秒}$$

物理读到这层就够了：导数把"一段的平均速度"升级成了"某一刻的真实速度"。 顺便，$s'(t) = 2t+3$ 就是全程的速度函数，再对它求一次导，得到的就是加速度。

在高中数学体系里的位置

导数是高中数学最重要的工具之一，很难找出第二个概念能像它一样横跨这么多题型。

从知识体系看：它是微积分入门的核心概念；它是研究函数性质（单调性、极值、最值）最有力的工具；它用"以直代曲"把代数和几何接了起来。

从考试看：选择题、填空题常直接考导数的定义、几何意义和基本求导，属于该拿的分；解答题里导数是压轴题的常客，用来研究函数性质、证明不等式、求参数范围。

学导数的关键不是背公式，而是理解导数是什么。导数就是一个极限——割线斜率的极限。这一点吃透了，后面单调性、极值、不等式证明全都是它的自然延伸，而不是一堆要重新记的新东西。

思考与拓展

1. 用定义求 $f(x) = x^3$ 的导数，再检查 $f'(1)$ 是不是等于 3。
2. 用定义求 $f(x) = \sqrt{x}$ 的导数，过程里你会用到分子有理化，最后是否得到 $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$？
3. 用定义求 $f(x) = x^2 + 2x$ 在 $x = 1$ 处的导数：先求导函数再代点，与直接用定义算，对照两个结果。
4. 函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续吗？可导吗？把它的左导数和右导数分别算出来。
5. 试着描述一个"处处连续、处处不可导"的函数（提示：把尖点无限加密，比如处处拐折的锯齿函数）。

高考母题

（2020·天津） 已知函数 $f(x)=x ^ { 3 } +klnx(k∈R)$ ， $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（Ⅰ）当 $k=6$ 时， （i）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； （ii）求函数 $g(x)=f(x)-f ^ { ′ } (x)+\frac { 9 } { x }$ 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 $k⩾-3$ 时，求证：对任意的 $x_{ 1 } ,\quad x_{ 2 } ∈[1,+∞)$ ，且 $x_{ 1 } >x_{ 2 }$ ，有 $\frac { f ^ { ′ } \left ( { x_{ 1 } } \right )+f ^ { ′ } \left ( { x_{ 2 } } \right ) } { 2 }>\frac { f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right ) } { x_{ 1 } -x_{ 2 } }$ ．

展开详解

（Ⅰ）（i） $y=9x-8$ ；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)； $g(x)$ 的极小值为 $g(1)=1$ ，无极大值；
（Ⅱ）证明：由 $f(x)=x ^ { 3 } +klnx$ ，得 $f ^ { ′ } (x)=3x ^ { 2 } +\frac { k } { x }$ . 对任意的 $x_{ 1 } ,\quad x_{ 2 } ∈[1,+∞)$ ，且 $x_{ 1 } >x_{ 2 }$ ，令 $\frac { x_{ 1 } } { x_{ 2 } }=t\quad (t>1)$ ，则 $\left ( { x_{ 1 } -x_{ 2 } } \right )\left ( { f ^ { ′ } \left ( { x_{ 1 } } \right )+f ^ { ′ } \left ( { x_{ 2 } } \right ) } \right )-2\left ( { f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right ) } \right )$ $=\left ( { x_{ 1 } -x_{ 2 } } \right )\left ( { 3x_{ 1 } ^{ 2 }+\frac { k } { x_{ 1 } }+3x_{ 2 } ^{ 2 }+\frac { k } { x_{ 2 } } } \right )-2\left ( { x_{ 1 } ^{ 3 }-x_{ 2 } ^{ 3 }+kln\frac { x_{ 1 } } { x_{ 2 } } } \right )$ $=x_{ 1 } ^{ 3 }-x_{ 2 } ^{ 3 }-3x_{ 1 } ^{ 2 }x_{ 2 } +3x_{ 1 } x_{ 2 } ^{ 2 }+k\left ( { \frac { x_{ 1 } } { x_{ 2 } }-\frac { x_{ 2 } } { x_{ 1 } } } \right )-2kln\frac { x_{ 1 } } { x_{ 2 } }$ $=x_{ 2 } ^{ 3 }\left ( { t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +3t-1 } \right )+k\left ( { t-\frac { 1 } { t }-2lnt } \right )$ .        ① 令 $h(x)=x-\frac { 1 } { x }-2lnx,\quad x∈[1,+∞)$ . 当x>1时， $h ^ { ′ } (x)=1+\frac { 1 } { x ^ { 2 } }-\frac { 2 } { x }=\left ( { 1-\frac { 1 } { x } } \right ) ^ { 2 } >0$ ， 由此可得 $h\left ( { x } \right )$ 在 $\left [ { 1,+∞ } \right )$ 单调递增，所以当t>1时， $h\left ( { t } \right )>h\left ( { 1 } \right )$ ，即 $t-\frac { 1 } { t }-2lnt>0$ . 因为 $x_{ 2 } ≥1$ ， $t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +3t-1=(t-1) ^ { 3 } >0$ ， $k≥-3$ ， 所以 $x_{ 2 } ^{ 3 }\left ( { t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +3t-1 } \right )+k\left ( { t-\frac { 1 } { t }-2lnt } \right )≥\left ( { t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +3t-1 } \right )-3\left ( { t-\frac { 1 } { t }-2lnt } \right )$ $=t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +6lnt+\frac { 3 } { t }-1$ .        ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当 $t>1$ 时， $g\left ( { t } \right )>g\left ( { 1 } \right )$ ，即 $t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +6lnt+\frac { 3 } { t }>1$ ， 故 $t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +6lnt+\frac { 3 } { t }-1>0$          ③ 由①
②③可得 $\left ( { x_{ 1 } -x_{ 2 } } \right )\left ( { f ^ { ′ } \left ( { x_{ 1 } } \right )+f ^ { ′ } \left ( { x_{ 2 } } \right ) } \right )-2\left ( { f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right ) } \right )>0$ . 所以，当 $k≥-3$ 时，任意的 $x_{ 1 } ,x_{ 2 } ∈\left [ { 1,+∞ } \right )$ ，且 $x_{ 1 } >x_{ 2 }$ ，有 $\frac { f ^ { ′ } \left ( { x_{ 1 } } \right )+f ^ { ′ } \left ( { x_{ 2 } } \right ) } { 2 }>\frac { f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right ) } { x_{ 1 } -x_{ 2 } }$ . 【分析】
(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得 $g'\left ( { x } \right )$ 的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令 $\frac { x_{ 1 } } { x_{ 2 } }=t$ ，将原问题转化为与 $t$ 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
(Ⅰ) (i) 当k=6时， $f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +6lnx$ ， $f'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } +\frac { 6 } { x }$ .可得 $f\left ( { 1 } \right )=1$ ， $f'\left ( { 1 } \right )=9$ ， 所以曲线 $y=f\left ( { x } \right )$ 在点 $\left ( { 1,f\left ( { 1 } \right ) } \right )$ 处的切线方程为 $y-1=9\left ( { x-1 } \right )$ ，即 $y=9x-8$ . (ii) 依题意， $g\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +6lnx+\frac { 3 } { x },x∈\left ( { 0,+∞ } \right )$ . 从而可得 $g'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } -6x+\frac { 6 } { x }-\frac { 3 } { x ^ { 2 } }$ ， 整理可得： $g ^ { ′ } (x)=\frac { 3(x-1) ^ { 3 } (x+1) } { x ^ { 2 } }$ ， 令 $g'\left ( { x } \right )=0$ ，解得 $x=1$ . 当x变化时， $g'\left ( { x } \right ),g\left ( { x } \right )$ 的变化情况如下表： $x$ $\left ( { 0,1 } \right )$ $x=1$ $\left ( { 1,+∞ } \right )$ $g'\left ( { x } \right )$ $-$ $0$ $+$ $g\left ( { x } \right )$ 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）略 【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．

一句话总结

导数就是瞬时变化率——当自变量的改变量趋近于 0 时，函数改变量与自变量改变量之比的极限。 它把一段的平均精确定格成一点的瞬时，割线的极限就是切线。