函数与导数 · 第 1 讲 · 2026-09-05 · 约 9 分钟

第1讲导数的概念——从平均变化率到瞬时变化率

导数不是天降的神秘概念，它只是"变化率"的精确版本。从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率，导数就这样自然地诞生了。

一个最朴素的问题

你在高速公路上开车，仪表盘上显示当前车速是 100 km/h。

这个读数告诉你什么？它告诉你此刻你的速度。

但速度是什么？速度等于路程除以时间。如果你只行驶了 100 公里，花了 1 小时，那平均速度确实是 100 km/h。

但问题是：瞬时速度和平均速度是两回事。你不可能在"一瞬间"内行驶一段距离——一瞬间时间是 0，路程也是 0，0/0 没有意义。

那"瞬时速度"到底是什么意思？

这就是微积分要回答的核心问题，而导数就是答案。

平均变化率——我们已有的概念

对于函数 $y = f(x)$ ，当自变量从 $x$ 变到 $x + \Delta x$ 时，函数值的改变量是 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ 。

平均变化率就是：

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

这表示函数在区间 $[x, x+\Delta x]$ 上的平均变化速度。

在几何上， $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 就是连接两点 $(x, f(x))$ 和 $(x+\Delta x, f(x+\Delta x))$ 的割线的斜率。

瞬时变化率——极限的思想

现在让 $\Delta x$ 越来越小，趋近于 0。

平均变化率的极限（如果存在）就是瞬时变化率：

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

这就是导数的定义。

为什么这个极限存在？

对大多数我们遇到的函数（多项式、三角函数、指数函数、对数函数……），这个极限都存在。只有少数"病态"函数（比如处处连续但处处不可导的函数）才没有导数。

在高中阶段，我们几乎不需要担心不可导的情况。记住：常见的初等函数在它定义域的 interior 点处都可导。

示意图

让 Q 沿曲线趋近 P（Δx → 0），割线 PQ 绕 P 旋转，其斜率 Δy/Δx 的极限就是切线斜率 f′(x)——平均变化率由此变成瞬时变化率。

导数的三种理解

1. 物理角度：瞬时变化率

位移对时间的导数 = 瞬时速度
速度对时间的导数 = 瞬时加速度
流量对时间的导数 = 瞬时流速

2. 几何角度：切线斜率

导数 $f'(x_0)$ 就是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。

3. 代数角度：线性逼近

在 $x_0$ 附近， $f(x)$ 可以用一个线性函数近似：

f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

这个线性函数的图像就是切线。导数越大，函数在这一点附近"上升"越快。

从定义出发计算导数

计算导数的步骤：

第一步：写出 $\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

第二步：化简（通常需要因式分解或有理化，消去 $\Delta x$ ）

第三步：取极限 $\Delta x \to 0$

例子：求 $f(x) = x^2$ 的导数

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x

所以 $(x^2)' = 2x$ 。

例子：求 $f(x) = \sqrt{x}$ 的导数

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}

分子有理化：

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})}

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})}

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

所以 $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 。

在高中数学体系里的位置

导数是高中数学最重要的工具之一。

从知识体系来说：

它是微积分入门的核心概念
它是研究函数性质（单调性、极值、最值）的最有力工具
它连接了代数和几何，提供了"以直代曲"的思想方法

从考试来说：

选择题/填空题：直接考导数的定义、几何意义、基本求导
解答题：导数是压轴题的常客，用于研究函数的性质、证明不等式、求最值

学导数的关键不是背公式，而是理解导数是什么。导数就是一个极限——割线斜率的极限。理解了这一点，后面的所有应用都顺理成章。

思考与拓展

用导数定义求 $f(x) = x^3$ 的导数。
你能用几何方法解释为什么 $(x^2)' = 2x$ 吗？（提示：看 $y = x^2$ 的图像上一点附近，函数值的变化率）
函数 $f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处可导吗？为什么？（提示：分别计算左导数和右导数）
你知道什么是"不可导但连续"的函数吗？能举出例子吗？

一句话总结

导数就是瞬时变化率——当自变量的改变量趋近于 0 时，函数改变量与自变量改变量之比的极限。

— Y. · 2026-09-05

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第1讲 导数的概念——从平均变化率到瞬时变化率