非 sofic 群——一个不可能在纸面上实现的群

这是「AI 正在攻克的数学问题」系列的第四篇。

一、问题是什么

先说清两个词，群，和排列。

群是一个集合配一种乘法，要满足三条规矩。结合律（先乘哪两个都一样）、有单位元（乘它等于没乘）、每个元素有逆元（乘起来得单位元）。你熟知的整数加法、非零实数乘法，都是群。还有一个更"动手"的例子。把 $n$ 个位置重新排次序，一共有 $n!$ 种排法（$n!$ 表示从 1 乘到 $n$，读作 $n$ 的阶乘），每种排法是一个排列；所有这些排列放在一起，配上"先做一次排列、再做一次"的乘法，构成一个群，叫对称群，记作 $S_n$。排列的群，数学里到处有它的身影。

有限群的乘法表是一张明明白白的表。比如 $S_3$ 只有 6 个元素，任意两个相乘，答案都写得出来。但数学里大量的群是无限的，比如整数加群 $\mathbb{Z}$（整数配上加法）。无限群没法"精确"装进某个有限的排列世界，因为有限集合装不下无穷多个不同的排列。于是 Gromov 和 Weiss 等人把要求放松一档，只要求几乎处处对得上。满足这个"近似版"条件的群，就叫 sofic 群。

把 sofic 说得再具体一点。随便圈出乘法表里一块有限的方格（有限个元素之间的所有乘积关系），再随便给定一个容忍度 $\varepsilon>0$（$\varepsilon$ 读作 epsilon，一个很小的正数，比如万分之一）。如果总能在某个有限集合 $X$ 上找到一群排列 $\sigma_g$（每个圈进来的元素 $g$ 配一个排列），让每一条关系 $ab=c$ 在 $X$ 上几乎处处成立，也就是除了一小撮点（占的比例小于 $\varepsilon$），其余所有点上都有 $\sigma_a(\sigma_b(x))=\sigma_c(x)$，而且不同的群元素对应的排列在几乎所有的点上行动不同，那么这个群就是 sofic 的。

一句话能复述的版本。sofic 群的乘法表，随便圈哪一块有限的，都能在某张有限的排列表里几乎逐格复现，对的格子占绝大多数，只有极少数对不上，而且想让它多对就可以多对。

拿配图里画的小方块打比方。假设容忍度定成 $5\%$，也就是 25 格里允许约 1 格多对不上。左图是一块 $5\times5$、共 25 格的乘法表，24 格对上、只有 1 格对不上，错误占 $4\%$，小于容忍度，这是 sofic 的做派。右图是另一个群的同一块表，12 格对上、13 格对不上，错误占 $52\%$，远超容忍度。而且这不是没找对模型，这个群天生如此，再怎么换排列、把容忍度放宽到多宽，错误比例都压不下去。这样的群就叫非 sofic 群，它没法在近似意义上被当作一群排列来操作。

问题来了。这样的群，到底存不存在？如果不存在，说明"近似排列"这个梦覆盖了所有群；如果存在，说明有限逼近真有天花板。这个问题的答案，2026 年之前没有人知道。

二、它从哪来

这个问题是 Gromov 提出的，他是几何与群论领域的传奇人物，阿贝尔奖得主。1999 年，他在论文《符号代数簇的自同态》里研究群上的细胞自动机，一种在格点上按局部规则同步更新的系统，类似生命游戏，想证明 Gottschalk 的猜测，在群上跑的单射细胞自动机一定满射（这个性质叫满射性，surjunctive）。为了证明它，他需要一个"弱的有限逼近"性质，要足够强，强到能推出满射性，又要足够宽，宽到把两大族截然不同的群都装进去。他定义出这样一类群，证明它们都满足满射性，然后顺势问了一句，是不是所有群都满足这个性质？

一年后，Weiss 在一篇论文里给这类群起了名字，sofic，取自希伯来语的"有限"，并整理了基本理论。之后 Elek 与 Szabó 把这套理论系统地发展起来。Gromov 1999 年的那个问题，从此被称为 sofic 群的存在性问题（也叫 soficity 猜想），是群论的一个中心开放问题。

为什么这个问题值得专门占一个位置？至少三个原因。

其一，sofic 群同时装下了两大族"长相相反"的群。可均群（amenable，有某种平均结构、对测度友好的群）和剩余有限群（residually finite，能被自己的有限商"看穿"的群）几乎覆盖了数学里遇到的所有群，可它们的定义方式南辕北辙。sofic 是少数能同时容纳它们的统一概念，这让数学家相信，它可能就是"有限逼近"这个直觉的正确形式化。

其二，一大批深定理都建立在 sofic 这个假设上。只要一个群是 sofic，Kaplansky 的直接有限性猜想、行列式猜想、群作用的熵理论等等，全都成立；而这些定理对一般群是否成立，至今悬而未决。也就是说，sofic 是让这批定理成立的"最便宜的假设"。

其三，sofic 问题有一个算子代数里的"连续版本"，就是 Connes 嵌入问题。同一个"有限近似"梦想的两个化身，分别悬了几十年。sofic 问题的走向，被看成这个更大图景的风向标。

Gromov 的问题一挂就是二十七年（1999 到 2026）。这期间，几乎每种能想到的"怪群"，自由 Burnside 群、各种极限构造、非可均的 sofic 群，全都被证明是 sofic。没人找到非 sofic 的例子，反而攒下一堆"这个也是 sofic"的证据。

三、卡在哪

这个问题的难点，在于 sofic 的定义是"否定式"的。

先看证明一个群是 sofic 有多容易。给定窗口和容忍度，你只要造出一个近似排列模型，再验证关系几乎处处成立。这是一个存在性证明，手里有具体构造可以抓，属于"举一个例子"的活。

再看证明一个群不是 sofic 要面对什么。你必须证明任何近似模型都不行。不管排列世界有多大、容忍度给得多宽、排列设计得多巧妙，总有一条关系超过容忍度。你要否定的，是某一个失败的尝试之外的无穷多个可能性，也就是每一个。这是"消灭所有可能对得上的例子"，和"找一个对得上的例子"，难度隔着整整一个量级。

打个比方。找 sofic 群，像在一箱硬币里找一枚正面朝上的；证非 sofic，像证明整箱硬币没有一枚正面朝上，你得把每一枚都翻开来检查。而这一箱硬币还是无穷的。

还有一层难处，在于 sofic 的定义"软"得让人无处下手。它只要求几乎满足，宽松到让人说不出反例该长什么样。你想抓住某条"永远压不下去"的关系，可模型的大小和容忍度都是你的对手（你要否定的对象）随便挑的，你的证明必须对所有这些选择同时成立。这跟"构造一个更精妙的例子"是两种完全不同的难法，后者难在创造，前者难在要战胜一个无穷大的可能性空间。

更要命的是二十七年积累下来的心理压力。可均、剩余有限、各种极限构造，全都被证明是 sofic。找不到反例的时间越长，"所有群都是 sofic"就越像真的。要找非 sofic 群，等于在所有人都不看好的方向上，绕过一屋子"它应该不存在"的证据，硬造出一个来。这也是为什么这个问题让数学家悬了二十七年，不是没有人试过，是试过的人都被这堵墙弹回来了。

四、现在到哪了

2026 年，OpenAI 公布了十项数学与理论计算机科学成果，其中第 3 项就是本文的主角，一个建立非 sofic 群存在性的构造，解决了群论的这个中心开放问题。非 sofic 群真的存在，Gromov 1999 年的问题，得到了正面的、构造性的回答。

这件事怎么做的，值得说清楚。成果由 OpenAI 的内部模型生成，这个模型是下一代旗舰模型 Astra 的内部版本；人类与同一个模型合作，把论证整理成论文手稿；随后模型把每个论证在 Lean 里形式化，形成 certificate，仓库在 github.com/openai/ten-proofs。OpenAI 在声明里写得很坦白，数学论证本身由系统生成，人类负责整理手稿、形式化并承担责任。这种归属方式，比笼统说"我们证明了"要诚实得多。

成本账也很有意思。这十项成果加起来，生成全部解所需的 token，按 Sol API 的费率算，大约值 2000 美元。换句话说，这几个定理级的成果，成本约等于一个普通人在云上跑几天大模型，远低于烧几百万美元换十个定理的想象。本讲说的非 sofic 群构造，只是这十项里的第 3 项。

十项里另外几项，各值得一两句。第 1 项是高维球堆积，把球堆积密度的上界一路推低到 Cohn-Elkies 阈值附近，这是高维几何里一个多年没动过的上界。第 9 项是多色 Ramsey 数，多色三角形 Ramsey 数得到超指数下界，解决了 Erdős 问题 183。第 4 项是 Connes 刚性猜想，它被证伪了，某些群并不由它们的 von Neumann 代数唯一决定。这几项和本讲一样，都由同一个模型完成，都进了 Lean certificate。

这件事意味着什么？至少三层。

第一，有限逼近真的有天花板。存在一个群，它在近似意义上都无法被当作一群排列来操作，那个"几乎处处成立"的梦，没法覆盖所有群。

第二，一批"对 sofic 群成立"的定理，从此不可能推广到所有群，这道墙被画实了。

第三，一个具体的非 sofic 群本身是新的数学对象。反例一旦存在，就自带结构，它很可能成为研究这类问题的新工具，也让算子代数那一侧的问题（Connes 嵌入问题）的答案变得更容易猜测，虽然那仍是另一个悬案。

回到这个专题的主线。第 1 讲里的单位距离问题，是机器用构造证伪了一个猜想；这一讲的非 sofic 群，是机器用构造正面回答了一个存在性问题。两种形态，都在「AI 正在攻克的数学问题」里占了一席。

原始报道 Ten advances in mathematics and theoretical computer science，OpenAI，2026 年。

Lean certificate github.com/openai/ten-proofs。

这个专题怎么走

「AI 正在攻克的数学问题」讲的是，一个个曾经卡住数学家几十年的问题，被机器用构造或反例往前推了一步。第 1 讲讲了单位距离问题，机器给出反例，推翻 Erdős 猜想；这一讲讲了非 sofic 群，机器给出构造，正面回答存在性问题。后面还会有球堆积、多色 Ramsey 数、Connes 刚性猜想等，各自成讲。

给学生的入口建议。这一讲真正要带走的是第一节的直觉，sofic 是"近似排列"，非 sofic 是"怎么近似都不行"，难点在否定式定义。第二节的可均群、剩余有限群、细胞自动机这些词，第一遍读可以跳过，不影响主线。第三节的类比（整箱硬币）值得停下来想一分钟，它才是这一讲想教给你的东西。

思考与拓展

1. 写出三元素对称群 $S_3$。它有 6 个元素，就是 6 种排列。任取两个排列（比如"交换第 1、2 个位置"和"交换第 2、3 个位置"），算出它们的乘积，验证结果还在 6 个排列里。你由此看到"排列的群"到底长什么样。

2. 为什么每个有限群一定是 sofic？提示，凯莱定理，每个有限群都同构于某个对称群的子群。也就是说有限群本身就是一群排列，根本不需要"近似"。这也解释了为什么 sofic 问题的焦点全在无限群上。

3. 整数加群 $\mathbb{Z}$ 是 sofic 的，你能想出一种用有限排列近似它的办法吗？提示，取很大的 $N$，把每个整数 $n$ 的"平移"对应到 $\{1,2,\dots,N\}$ 上的循环平移；容忍度 $\varepsilon$ 要多少，$N$ 就取得多大。想通了这道题，sofic 的"近似"就不是抽象名词了。

4. 假设有人向你宣称"我找到了一个非 sofic 群的候选者"。要推翻他的宣称，你只需要做一件事；要证实它，你需要做另一件事。分别是什么？想清楚这两件事的差别，你就明白了这一讲第三节的全部要点。这道题的教材入口，在人教A 版数学选择性必修第三册第六章计数原理 6.2 排列与组合，"排列"就是给有限个位置重新排次序，这正是对称群、也就是"排列的群"的出发点。

一句话总结

sofic 群是能在近似意义上被当作一群排列来操作的群；2026 年，一个做不到这一点的群被构造了出来，非 sofic 群真的存在，Gromov 1999 年提出的问题就此得到正面回答。