对数函数的定义域与奇偶性

分析：先求公共定义域，再用 $F(-x)$ 与 $F(x)$ 的关系判奇偶。

设

$$F(x)=f(x)+g(x)=\log_a(x+1)+\log_a(1-x)$$

（1）求定义域

对数真数必须为正：

$$x+1>0\quad\text{且}\quad 1-x>0$$ $$x>-1\quad\text{且}\quad x<1$$

所以定义域为

$$(-1,1)$$

（2）判断奇偶性

定义域 $(-1,1)$ 关于原点对称，满足必要条件。再看 $F(-x)$：

$$F(-x)=\log_a(1-x)+\log_a(1+x)$$

交换加法顺序：

$$F(-x)=\log_a(1+x)+\log_a(1-x)=F(x)$$

因为 $F(-x)=F(x)$，所以 $F(x)$ 是偶函数。

进一步：由对数运算法则

$$F(x)=\log_a\big[(x+1)(1-x)\big]=\log_a(1-x^2)$$

显然 $1-x^2$ 是偶函数，故 $F(x)$ 为偶函数。

答案

（1）定义域 $(-1,1)$；

（2）$f(x)+g(x)$ 是偶函数。

判断流程：先看定义域是否对称（不对称立即出局），再算 $F(-x)$ 与 $\pm F(x)$ 比较。