函数集合与周期

ƒ 函数与导数2026年7月29日 · 星期三

(1) $f(x)=\sin x$ , $\frac{\pi}{3} \in M_\pi$ ?;

(2) $f(x)=\begin{cases}x+2,x<0\\sqrt{x},x\geq0\end{cases}$ , $M_a\neq\varnothing$ , $a$ 范围;

(3) $f$ 偶函数, $x\in(0,1]$ 时 $f(x)=1-x$ , $\forall a\in(0,2), M_a\subseteq M_2$ . 写 $x\in(1,2)$ 解析式, 求证: $f(x)-c$ 在 $[-3,3]$ 至多9个零点.

解析

(1) $f(x+\pi)=\sin(x+\pi)=-\sin x=f(x)$ 需 $\sin x=-\sin x$ , 仅当 $\sin x=0$ . $\sin(\frac{\pi}{3})\neq0$ , 故 $\frac{\pi}{3}\notin M_\pi$ .

(2) $f(x+a)=f(x)$ : 分 $x<0, x+a<0$ 与 $x\geq0$ 讨论.

(3) $f(x)=x-1, x\in(1,2)$ . 偶函数延拓得 $[-3,3]$ 上解析式, 分析零点个数即可证明.