圆与直线距离

圆心 $(0,-2)$, 直线 $y=\sqrt{3}x+2$, 即 $\sqrt{3}x-y+2=0$.

圆心到直线的距离 $d=\frac{|\sqrt{3}\cdot 0-(-2)+2|}{\sqrt{3+1}}=\frac{4}{2}=2$.

圆上到直线距离为 $1$ 的点有且仅有 $2$ 个, 说明 $|r-d|=1$, 即 $|r-2|=1$.

$r=1$ 或 $r=3$. 但题目说“有且仅有2个”, 当 $|r-2|=1$ 时恰好 $2$ 个, 当 $r=2$ 时直线与圆相切有 $1$ 个.

实际上圆上到直线距离为 $1$ 的点的个数取决于 $r$ 与 $d=2$ 的关系:

• $r<d-1$: $0$ 个
• $r=d-1$: $1$ 个 (相切)
• $d-1<r<d+1$: $2$ 个
• $r=d+1$: $1$ 个
• $r>d+1$: $0$ 个

$2$ 个点对应 $1<r<3$.

答案选 B.