摇杆机械装置

★ 综合新定义2026年6月26日 · 星期五

图片1.png 摇杆机械装置，如图， $A$ ， $B$ 为定点， $C$ ， $D$ 是动点， $AD=1$ ， $CD=3$ ， $BC=\frac{5}{2}$ ， $AB=4$ ，则 $\cos\angle ABC$ 的取值范围（）。

A. $\left[\frac{5}{16},\frac{53}{80}\right]$

B. $\left[\frac{5}{16},\frac{73}{80}\right]$

C. $\left[\frac{5}{12},\frac{53}{80}\right]$

D. $\left[\frac{5}{12},\frac{73}{80}\right]$

解析

【答案】B 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为 $AD=1,CD=3$ ，则 $3-1\le AC\le1+3$ ，即得 $2\le AC\le4$ ，所以 $\triangle ABC$ 中， $cos\angle ABC=\dfrac{16+\dfrac{25}{4}-AC^{2}}{2\times4\times\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\dfrac{89}{4}-AC^{2}}{20}$ 所以 $\dfrac{25}{80}=\dfrac{\dfrac{89}{4}-4^{2}}{20}\le cos\angle ABC=\dfrac{\dfrac{89}{4}-AC^{2}}{20}\le\dfrac{\dfrac{89}{4}-2^{2}}{20}=\dfrac{73}{80}$ ，所以 $cos\angle ABC$ 的范围为 $\left[\dfrac{5}{16},\dfrac{73}{80}\right]$ .