三次函数零点与对称性（选择题）

$f(x)=2x^3-3ax^2+1$。$f'(x)=6x^2-6ax=6x(x-a)$。

$f'(x)=0$ 当 $x=0$ 或 $x=a$。

A：$a>1$ 时。$f(0)=1>0$，$f(a)=2a^3-3a^3+1=1-a^3$。$a>1$ 时 $f(a)<0$。

$f\to-\infty$ 时 $f\to-\infty$，$f(0)=1>0$，故 $(-\infty,0)$ 有一个零点。$f(0)>0$，$f(a)<0$，$(0,a)$ 有零点。$f(a)<0$，$f\to+\infty$，$(a,+\infty)$ 有零点。三个零点。$\checkmark$

B：$a<0$ 时。$f'(x)=6x(x-a)$。$a<0$，$x=0$ 和 $x=a<0$。$x=0$：$f'$ 从负（$x\in(a,0)$ 时 $x>0, x-a>0$... $a<0$，$x\in(a,0)$：$x<0, x-a>0$（$x>a$），$f'=6\cdot(-)(+) <0$。$x>0$：$f'=6(+)(+)>0$。故 $x=0$ 处 $f'$ 由负变正，$x=0$ 为极小值点，不是极大值点。B 错误。

C：三次函数 $f(x)=2x^3-3ax^2+1$ 有对称中心 $(x_0,y_0)$ 但无对称轴（三次函数不可能有对称轴）。C 错误。

D：对称中心在 $f''(x)=0$ 处。$f''(x)=12x-6a=0$，$x=a/2$。$f(a/2)=2\cdot\dfrac{a^3}{8}-3a\cdot\dfrac{a^2}{4}+1=\dfrac{a^3}{4}-\dfrac{3a^3}{4}+1=1-\dfrac{a^3}{2}$。对称中心 $(\dfrac{a}{2},1-\dfrac{a^3}{2})$。

需 $(1,f(1))$ 为对称中心：$\dfrac{a}{2}=1$，$a=2$。$f(1)=2-12+1=-9$。$1-\dfrac{8}{2}=1-4=-3\neq -9$。不成立。

再验证：$a=2$，$f(x)=2x^3-6x^2+1$。$f(1)=2-6+1=-3$。对称中心 $(1,-3)$。$f(1)=-3$，$1-a^3/2=1-4=-3$。$\checkmark$

我之前计算有误。$f(1)=2\cdot 1-3\cdot 2\cdot 1+1=2-6+1=-3$。对称中心 $(1,1-8/2)=(1,-3)$。$f(1)=-3$。$\checkmark$ D 正确！

答案

A、D 正确。