对数函数不等式求最小值（选择题）

$f(x)=(x+a)\ln(x+b)\geq 0$ 对定义域内所有 $x$ 成立。

$\ln(x+b)$ 在 $x+b>0$ 时有定义，零点在 $x+b=1$ 即 $x=1-b$。

$f(x)\geq 0$ 对所有 $x>-b$ 成立，需 $f$ 的零点恰好使 $f$ 不变号。

情况一：$x+a$ 和 $\ln(x+b)$ 同号或之一为零。

$x=1-b$ 时 $\ln=0$，$f=0$。$x=-a$ 时 $x+a=0$，$f=0$。

若 $-a\neq 1-b$：$f$ 有两个零点 $-a$ 和 $1-b$。两零点间 $f$ 变号，不满足 $\geq 0$（除非 $f$ 在两零点间非负，但 $\ln$ 在零点变号，故 $f$ 变号）。矛盾。

故需 $-a=1-b$，即 $b=a+1$。

此时 $f(x)=(x+a)\ln(x+a+1)$，$x+a>-1$（即 $x>-a-1=b-1$，定义域 $x>-b$）。

$x>-a$ 时 $x+a>0$，$\ln(x+b)=\ln(x+a+1)$，$x+a+1>1$，$\ln>0$，$f>0$。$\checkmark$

$-b<x<-a$ 时 $x+a<0$，$x+a+1\in(0,1)$，$\ln<0$，$f=(-)(-)>0$。$\checkmark$

$x=-a$ 时 $f=0$。$x=-b+1$... $-a=1-b$ 已统一。

故条件为 $b=a+1$。$a^2+b^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1$。

$\dfrac{d}{da}(2a^2+2a+1)=4a+2=0$，$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=\dfrac{1}{2}$。

$a^2+b^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$。

答案

选 C。$a^2+b^2$ 的最小值为 $\dfrac{1}{2}$。