4x4方格表选法与最大和（填空题）

$4\times 4$ 方格表，每行每列恰选一个，等价于排列 $\sigma\in S_4$，选 $(i,\sigma(i))$。

选法数 $=4!=24$ 种。

各行数据（按列 $1,2,3,4$）：

行1: $11,21,31,40$；行2: $12,22,33,42$；行3: $13,22,33,43$；行4: $15,24,34,44$

枚举所有 $24$ 种排列的和：

$(1,2,3,4)$：$11+22+33+44=110$ $(1,2,4,3)$：$11+22+34+43=110$ $(1,3,2,4)$：$11+33+22+44=110$ $(1,3,4,2)$：$11+33+34+24=102$ $(1,4,2,3)$：$11+42+22+43=118$ $(1,4,3,2)$：$11+42+33+24=110$ $(2,1,3,4)$：$21+12+33+44=110$ $(2,1,4,3)$：$21+12+34+43=110$ $(2,3,1,4)$：$21+33+13+44=111$ $(2,3,4,1)$：$21+33+34+15=103$ $(2,4,1,3)$：$21+42+13+43=119$ $(2,4,3,1)$：$21+42+33+15=111$ $(3,1,2,4)$：$31+12+22+44=109$ $(3,1,4,2)$：$31+12+34+24=101$ $(3,2,1,4)$：$31+22+13+44=110$ $(3,2,4,1)$：$31+22+34+15=102$ $(3,4,1,2)$：$31+42+13+24=110$ $(3,4,2,1)$：$31+42+22+15=110$ $(4,1,2,3)$：$40+12+22+43=117$ $(4,1,3,2)$：$40+12+33+24=109$ $(4,2,1,3)$：$40+22+13+43=118$ $(4,2,3,1)$：$40+22+33+15=110$ $(4,3,1,2)$：$40+33+13+24=110$ $(4,3,2,1)$：$40+33+22+15=110$

最大和为 $(2,4,1,3)$：$21+42+13+43=119$。

答案

共有 $24$ 种选法，最大和为 $119$。