函数零点与对数

(1) $a=1$, $f(x)=x-(\ln x)^2$, $f(1)=1$.

$f'(x)=1-\frac{2\ln x}{x}$, $f'(1)=1$.

切线方程: $y-1=1\cdot(x-1)$, 即 $y=x$.

(2) $f(x)=ax-(\ln x)^2=0$, $(\ln x)^2=ax$.

$f'(x)=a-\frac{2\ln x}{x}$, $f''(x)=\frac{2(\ln x-1)}{x^2}$.

$f''(x)=0$, $\ln x=1$, $x=\mathrm{e}$, 这是 $f'$ 的极小值点.

$f'(\mathrm{e})=a-\frac{2}{\mathrm{e}}$.

要使 $f(x)$ 有3个零点, $f$ 需要先增后减再增, 即 $f'(\mathrm{e})<0$, $a<\frac{2}{\mathrm{e}}$.

答案: (i) $0<a<\frac{2}{\mathrm{e}}$.