数列子集求和

(1) 设等差数列公差为 $d$, 等比数列公比为 $q$.

$a_1=2$, $b_1=2$, $a_2=2+d$, $b_2=2q$.

$a_2=b_2+1$: $2+d=2q+1$, $d=2q-1$.

$a_3=2+2d=4q$, $b_3=2q^2$.

$a_3=b_3$: $4q=2q^2$, $q(q-2)=0$, $q=2$ (since $q\neq 0$).

$d=3$, $a_n=2+3(n-1)=3n-1$, $b_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$.

(2) $a_nb_n=(3n-1)\cdot 2^n$.

(i) $T_n$ 中最大元素为 $\sum_{k=1}^{n}(3k-1)2^k$, 需证其不超过 $(3(n+1)-1)2^{n+1}$.

(ii) $T_n$ 所有元素之和为 $\sum_{p_1,\cdots,p_n\in\{0,1\}}\sum_{k=1}^{n}p_k(3k-1)2^k$.

由对称性, 每个 $a_kb_k$ 在 $T_n$ 中出现 $2^{n-1}$ 次中有 $2^{n-1}$ 次取值 $1$.

总和 $=2^{n-1}\sum_{k=1}^{n}(3k-1)2^k$.