椭圆焦点与角平分

(1) $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$, $c=\frac{a}{2}$, $b^2=\frac{3a^2}{4}$.

$F(-c,0)=\left(-\frac{a}{2},0\right)$, $A(a,0)$, $P(a,y_P)$ 在 $x=a$ 上.

直线 $PF$ 斜率 $k_{PF}=\frac{y_P-0}{a-(-\frac{a}{2})}=\frac{y_P}{3a/2}=\frac{2y_P}{3a}=\frac{1}{3}$, $y_P=\frac{a}{2}$.

$S_{△ PFA}=\frac{1}{2}\cdot|FA|\cdot|y_P|=\frac{1}{2}\cdot\frac{3a}{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{3a^2}{8}=\frac{3}{2}$.

$a^2=4$, $a=2$, $c=1$, $b^2=3$.

椭圆方程: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.

(2) $P(2,1)$. 过 $P$ 的直线与椭圆切于 $B$ 处, 需证明 $PF$ 平分 $∠ AFB$.

$F(-1,0)$, $A(2,0)$. 利用角平分线的距离比性质证明即可.