双曲线与抛物线交点

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, $|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|=6c$.

由双曲线定义, $|PF_1|-|PF_2|=2a$ ($P$ 在右支, $|PF_1|>|PF_2|$).

$|PF_1|=\frac{6c+2a}{2}=3c+a$, $|PF_2|=\frac{6c-2a}{2}=3c-a$.

$P$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上, 抛物线的焦点为 $F_2(c,0)$, $p=2c$, 抛物线为 $y^2=4cx$.

$|PF_2|=3c-a$, 由抛物线定义, $|PF_2|=x_P+c$.

设 $P(x_P,y_P)$, $x_P+c=3c-a$, $x_P=2c-a$.

$P$ 在双曲线上: $\frac{(2c-a)^2}{a^2}-\frac{y_P^2}{b^2}=1$, $y_P^2=b^2\left(\frac{(2c-a)^2}{a^2}-1\right)=b^2\cdot\frac{4c^2-4ac}{a^2}=\frac{4b^2c(c-a)}{a^2}$.

$P$ 在抛物线上: $y_P^2=4cx_P=4c(2c-a)=8c^2-4ac$.

$\frac{4b^2c(c-a)}{a^2}=8c^2-4ac$, $\frac{4b^2(c-a)}{a^2}=8c-4a=4(2c-a)$.

$b^2(c-a)=a^2(2c-a)$, $(c^2-a^2)(c-a)=a^2(2c-a)$.

$(c-a)^2(c+a)=a^2(2c-a)$, 令 $e=\frac{c}{a}$:

$a^2(e-1)^2(e+1)=a^2(2e-1)$, $(e-1)^2(e+1)=2e-1$.

$e^3-e^2+e-1-2e+1=0$, $e^3-e^2-e=0$, $e(e^2-e-1)=0$.

$e eq 0$, $e^2-e-1=0$, $e=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

答案选 D.