正弦函数性质

$x=\frac{\pi}{12}$ 为对称轴, 则 $f\left(\frac{\pi}{12}+t\right)=f\left(\frac{\pi}{12}-t\right)$.

$\sin\left(\omega\cdot\frac{\pi}{12}+\omega t+\varphi\right)=\sin\left(\omega\cdot\frac{\pi}{12}-\omega t+\varphi\right)$.

说明 $\omega\cdot\frac{\pi}{12}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$, 即该点为正弦或负弦的顶点.

$\left(\frac{\pi}{3},0\right)$ 为对称中心, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$, $\sin\left(\frac{\omega\pi}{3}+\varphi\right)=0$.

$\frac{\omega\pi}{3}+\varphi=k\pi$.

由单调递增和对称轴条件, 经过分析得 $\omega=2$, $\varphi=\frac{\pi}{3}$.

$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$.

在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 上: 当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时, $f(x)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

检查其他点: $f(0)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $f\left(\frac{\pi}{12}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1$.

最小值为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案选 A.