三角函数最值

(1) $f(x)=5\cos x-\cos 5x$.

$f'(x)=-5\sin x+5\sin 5x=5(\sin 5x-\sin x)$.

由 $\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x$, 当 $x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$ 时 $\cos 3x$ 和 $\sin 2x$ 的符号变化.

寻找关键点: $f'(x)=0$, $\sin 5x=\sin x$ 或 $\cos 3x=0$ 或 $\sin 2x=0$.

答案: 最大值为 $5\cos\frac{\pi}{6}-\cos\frac{5\pi}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.

(2) 取 $y=a$, $\cos a\leq\cos\theta$... 需要分析 $\theta$ 和 $a$ 的关系.

(3) $b$ 的最小值为 $6$, 即 $5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leq 6$ 恒成立时 $b=6$.