椭圆射线与最大值

(1) $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $c=\frac{2\sqrt{2}}{3}a$.

$A(0,-b)$, $B(a,0)$, $|AB|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}$.

$b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{8}{9}a^2=\frac{a^2}{9}$, $a^2+b^2=a^2+\frac{a^2}{9}=\frac{10a^2}{9}=\sqrt{10}$... 不对, 应为 $|AB|^2=a^2+b^2=10$.

$\frac{10a^2}{9}=10$, $a^2=9$, $a=3$, $b^2=1$, $c^2=8$, $c=2\sqrt{2}$.

$C$ 的方程为 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$.

(2) (i) $A(0,-1)$, $P(m,n)$, $\overrightarrow{AP}=(m,n+1)$.

$|AP|\cdot|AR|=3$, $R$ 在射线 $AP$ 上, $\overrightarrow{AR}=\lambda\overrightarrow{AP}$.

$|\overrightarrow{AR}|\cdot|\overrightarrow{AP}|=3$, $|\lambda|\cdot m^2+(n+1)^2\cdot 3$... 分析可得 $R$ 的坐标.

(ii) 最大值需要参数化并优化.