有放回抽样期望

#39

“我一点也不怕麻烦，因为我做了该做的事。——居里夫人”

有5个相同的球, 分别标有数字 1, 2, 3, 4, 5, 从中有放回地随机取3次, 每次取1个球。记 $X$ 为这5个球中至少被取出1次的球的个数, 则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\underline{\qquad}$ 。

记第 $i$ 个球至少被取出1次为事件 $A_i$ , 则 $X=\sum_{i=1}^{5} I(A_i)$ .

$P(A_i)=1-P(第$ i $个球在3次抽取中都未被取出)=1-\left(\frac{4}{5}\right)^3=1-\frac{64}{125}=\frac{61}{125}$ .

$E(X)=\sum_{i=1}^{5} P(A_i)=5\times\frac{61}{125}=\frac{305}{125}=\frac{61}{25}$ .

答案: $\frac{61}{25}$ 或 $2.44$ .

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原典共读 · CLASSICS

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