分布列与概率

（1）$X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, 4$。

$X=1$ 表示第一次投篮就投中，概率为 $P(X=1) = p = \frac{1}{3}$。

$X=2$ 表示第一次未投中、第二次投中，概率为 $P(X=2) = (1-p)\,p = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。

$X=3$ 表示前两次未投中、第三次投中，概率为 $P(X=3) = (1-p)^2\,p = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$。

$X=4$ 表示前三次均未投中（第四次无论是否投中，练习均停止），概率为 $P(X=4) = (1-p)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$。

验证：$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{27} = \frac{9}{27} + \frac{6}{27} + \frac{4}{27} + \frac{8}{27} = \frac{27}{27} = 1$，概率之和为 $1$，验证无误。

（2）(i) 事件 $X > k$ 表示前 $k$ 次投篮均未投中。因为每次未投中的概率为 $1-p$，且各次相互独立，所以 $P(X > k) = (1-p)^k$。

(ii) 由条件概率公式，$P(X > k+m \mid X > k) = \frac{P(X > k+m \cap X > k)}{P(X > k)}$。

由于 $k+m > k$，事件 $X > k+m$ 是事件 $X > k$ 的子事件，因此 $P(X > k+m \cap X > k) = P(X > k+m)$。

由 (i) 的结论，$P(X > k+m) = (1-p)^{k+m}$，$P(X > k) = (1-p)^k$，代入得：

$P(X > k+m \mid X > k) = \frac{(1-p)^{k+m}}{(1-p)^k} = (1-p)^m$。

又由 (i)，$P(X > m) = (1-p)^m$，因此 $P(X > k+m \mid X > k) = P(X > m)$，证毕。

答案

（1）$X$ 的分布列为：

$X=1$ 时 $P = \frac{1}{3}$；$X=2$ 时 $P = \frac{2}{9}$；$X=3$ 时 $P = \frac{4}{27}$；$X=4$ 时 $P = \frac{8}{27}$。

（2）(i) $P(X > k) = (1-p)^k$。

(ii) 证毕，$P(X > k+m \mid X > k) = P(X > m)$ 成立。