∫π每天一道数学题
#6
“学然后知不足，教然后知困。——《礼记》”

设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\left\{(x_1,x_2,x_3)\big|x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\right\} 为空间中 6464 个点构成的集合，点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_{U}\{P\}，从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为

A. −121-\frac{1}{21}

B. −163-\frac{1}{63}

C. 00

D. 17\frac{1}{7}

参考解析

由题意，Ω\Omega 中共有 6363 个点。

在全集 UU 中，每个 xix_i 独立取 {−2,−1,1,2}\{-2,-1,1,2\} 中的值，各取 1616 次，因此 EU[xi]=0E_U[x_i] = 0，从而 EU[X]=0E_U[X] = 0。

在 Ω=U∖{P}\Omega = U \setminus \{P\} 中，去掉了点 (1,1,1)(1,1,1)，该点对应的 X(P)=1+1+1=3X(P) = 1+1+1 = 3。

由期望关系：0×64=EΩ[X]×63+30 \times 64 = E_\Omega[X] \times 63 + 3，解得 EΩ[X]=−363=−121E_\Omega[X] = -\frac{3}{63} = -\frac{1}{21}。

选 A。

答案是 −121-\frac{1}{21}。

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