三角函数

已知 $f(x)=2\sin(ax+\theta)$，$a\in\mathbb{Z}$，$0\le\theta<2\pi$，$f(x)$ 为偶函数且在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增。

由偶函数性质及单调性知 $x=0$ 为最小值点： $f(0)=2\sin\theta=-2 \implies \sin\theta=-1 \implies \theta=\frac{3\pi}{2}$。

化简函数： $f(x)=2\sin\left(ax+\frac{3\pi}{2}\right)=-2\cos(ax)$。

由单调性约束： $\frac{T}{2}\ge\frac{\pi}{2} \implies \frac{\pi}{|a|}\ge\frac{\pi}{2} \implies |a|\le2$， 又 $a\in\mathbb{Z},a\ne0$，故 $a=\pm1,\pm2$。

计算函数值： $f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-2\cos\left(\frac{2\pi}{3}a\right)=1$。

综上：$\theta=\frac{3\pi}{2}$，$f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=1$。