第10讲 中点弦与点差法——设而不求的妙用

一个经典问题

椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的一条弦被点 $M(2, 3)$ 平分，求这条弦所在的直线方程。

常规做法：设直线 $y - 3 = k(x - 2)$，和椭圆联立，用韦达定理让 $x_1 + x_2 = 4$，解出 $k$。

但有一个更优雅的方法——点差法。

点差法——核心思想

点差法的核心是：把两个交点代入曲线方程，然后相减，利用平方差公式消去二次项。

推导

设弦的两个端点为 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，都在椭圆上：

$$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \tag{1}$$ $$\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \tag{2}$$

(1) − (2)：

$$\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0$$ $$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{b^2} = 0$$

两边同时除以 $(x_1 - x_2)$（假设 $x_1 \neq x_2$）：

$$\frac{x_1 + x_2}{a^2} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{b^2(x_1 - x_2)} = 0$$

注意到 $\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ 就是弦 $AB$ 的斜率 $k$，而 $\dfrac{x_1 + x_2}{2}$ 和 $\dfrac{y_1 + y_2}{2}$ 就是中点 $M$ 的坐标 $(x_0, y_0)$。

所以：

$$\frac{2x_0}{a^2} + \frac{2ky_0}{b^2} = 0$$

整理得：

$$k = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$$

这就是点差法的核心公式。

解刚才那道题

椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$，中点 $M(2, 3)$。

代入公式：

$$k = -\frac{16 \times 2}{25 \times 3} = -\frac{32}{75}$$

弦所在直线方程：$y - 3 = -\dfrac{32}{75}(x - 2)$。

就这？ 不需要联立、不需要解方程、不需要韦达定理——直接一个公式算出斜率。

点差法的适用范围

点差法不仅适用于椭圆，也适用于双曲线和抛物线。

曲线	点差法公式（中点 $(x_0, y_0)$）
椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$k = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$
双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$k = \dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$（注意符号变了）
抛物线 $y^2 = 2px$	$k = \dfrac{p}{y_0}$

发现规律了吗？公式的形式几乎一样——只是系数的符号不同。

推导抛物线的点差法

设 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 在 $y^2 = 2px$ 上：

$$y_1^2 = 2px_1 \tag{1}$$ $$y_2^2 = 2px_2 \tag{2}$$

(1) − (2)：

$$y_1^2 - y_2^2 = 2p(x_1 - x_2)$$ $$(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 2p(x_1 - x_2)$$ $$\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{2p}{y_1 + y_2} = \frac{2p}{2y_0} = \frac{p}{y_0}$$

所以 $k = \dfrac{p}{y_0}$。

点差法的优势

1. 快：不用联立方程，不用解二次方程，直接套公式
2. 准：避免了计算中的各种错误（特别是开根号、分数运算）
3. 通用：中点弦、中点轨迹、中点存在性，一类方法通吃

点差法的局限

点差法不是万能的，有几个限制：

局限一：需要知道中点在曲线内部

对于椭圆，中点必须在椭圆内部（$\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} < 1$），否则不存在以该点为中点的弦。

点差法给出的是"如果存在，斜率应该是多少"，但它不保证这个弦真的存在。所以算完斜率后，最好验证一下——把直线方程和椭圆联立，看 $\Delta > 0$。

局限二：中点在坐标轴上时不适用

如果中点在 x 轴上（$y_0 = 0$），点差法公式中分母为 0，说明弦的斜率不存在（垂直于 x 轴），需要单独讨论。

同理，中点在 y 轴上（$x_0 = 0$）时，斜率为 0，弦平行于 x 轴。

局限三：不能处理中点不在曲线"内部"的情况

比如椭圆外的一点，不可能有以它为弦中点的弦（因为椭圆是凸的，弦的两个端点都在椭圆上，中点必然在椭圆内）。

一个更高级的应用：中点轨迹

除了求中点弦的方程，点差法还能解决中点轨迹问题。

求过点 $P(4, 0)$ 的直线与椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ 相交所得弦的中点轨迹方程。

方法：设弦的中点为 $M(x_0, y_0)$，则 $M$ 和 $P$ 在同一条直线上。用点差法得到弦的斜率 $k = -\dfrac{16x_0}{25y_0}$，又因为 $M$ 和 $P$ 连线斜率为 $\dfrac{y_0}{x_0 - 4}$，所以：

$$\frac{y_0}{x_0 - 4} = -\frac{16x_0}{25y_0}$$

整理得中点轨迹方程（是一段椭圆内部的弧）。

在高中数学体系里的位置

点差法是圆锥曲线大题里的高频考点。

从题型分布来看：

• 选择题/填空题：直接给中点和曲线，求弦的斜率或方程——套公式秒解
• 解答题第一问：求中点弦方程——用点差法，快且准
• 解答题第二问：中点轨迹问题——用点差法配合几何条件

点差法的难度不大，但技巧性强——知道这个方法的学生一眼看出解法，不知道的学生还得老老实实联立韦达，浪费大量时间。

所以点差法是"应试利器"：学到就会用，用了就得分。

思考与拓展

1. 双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 中，以点 $M(3, 2)$ 为中点的弦存在吗？为什么？
2. 抛物线 $y^2 = 8x$ 中，以点 $M(2, 4)$ 为中点的弦的方程是什么？验证一下这个弦是否真的存在。
3. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的所有中点弦的中点轨迹是什么曲线？（提示：用点差法推出关系式）
4. 你能把点差法的思想推广到其他二次曲线吗？比如圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的中点弦公式是什么？

一句话总结

点差法就是"两个方程相减+平方差公式"——把求斜率的问题变成代数恒等变形，联立和韦达都用不上。