第8讲 直线与圆锥曲线——联立、判别式与韦达定理

核心思路：联立

直线和圆锥曲线的所有问题，都从同一个方法出发：联立方程。

设直线方程为 $y = kx + b$（或 $x = my + n$），圆锥曲线方程为椭圆/双曲线/抛物线的标准方程。把直线方程代入曲线方程，得到一个关于 $x$（或 $y$）的一元二次方程。

这个二次方程的三个信息，决定了所有后续计算：

• 判别式 $\Delta$：判断有几个交点（$\Delta > 0$ 两个，$\Delta = 0$ 一个/相切，$\Delta < 0$ 无交点）
• 韦达定理：两根之和与两根之积（不需要求出根的具体值）
• 弦长公式：两点间的距离（用韦达定理表达）

这就是解析几何的"三件套"。掌握了这三件套，直线与圆锥曲线的问题基本都能做。

一、判别式——交点个数

把直线方程代入圆锥曲线方程，得到一元二次方程 $Ax^2 + Bx + C = 0$。

判别式 $\Delta = B^2 - 4AC$：

• $\Delta > 0$：两个交点（直线与曲线相交）
• $\Delta = 0$：一个交点（相切）
• $\Delta < 0$：无交点（直线与曲线相离）

注意：对抛物线来说，当直线平行于对称轴时，代入后得到的是一次方程，只有一个解（直线与抛物线交于一点，但不一定是切线）。这种情况要单独讨论。

例题

直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 有几个交点？

代入：$\dfrac{x^2}{4} + (x+1)^2 = 1$，即 $\dfrac{5x^2}{4} + 2x = 0$，$x(5x + 8) = 0$。

$\Delta > 0$，两个交点。

二、韦达定理——不求根也能算

设交点为 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，联立后得到的二次方程为 $ax^2 + bx + c = 0$。

则：

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

同理，如果把 $x$ 表示成 $y$ 的函数，也有：

$$y_1 + y_2 = -\frac{b'}{a'}, \quad y_1 y_2 = \frac{c'}{a'}$$

韦达定理的核心价值：不需要求出根的具体值，就能得到关于根的各种代数关系。 这在圆锥曲线题目中非常关键——因为直接求根往往计算量巨大，而韦达定理只用到系数比。

三、弦长公式

已知两个交点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，弦长：

$$|AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$

如果直线斜率为 $k$，则 $y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)$，所以：

$$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}$$

或者用 $y$ 表示：

$$|AB| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} \cdot |y_1 - y_2| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} \cdot \sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1 y_2}$$

记住这个公式就行。弦长 = 斜率因子 × 两根之差的绝对值。两根之差用韦达定理表示，完全不需要求出根。

当直线斜率不存在时

直线 $x = m$（垂直于 x 轴），弦长直接用 $y$ 的差：$|y_1 - y_2|$。

四大经典题型

题型一：求弦长

已知直线和圆锥曲线，求交点弦长。 方法：联立 → 韦达定理 → 弦长公式。一步到位。

题型二：中点弦问题

已知弦的中点坐标，求直线方程或验证某个性质。 方法：设两个交点，用中点公式得到 $x_1 + x_2$ 和 $y_1 + y_2$，再结合韦达定理反推斜率。

或者用点差法（下一讲专门讲）。

题型三：存在性问题

"是否存在直线使得某条件成立？" 方法：先假设存在，设出直线方程（通常含参数），联立后用韦达定理列方程，解出参数，再验证判别式是否大于 0。

如果解出的参数使 $\Delta \le 0$，则不存在。

题型四：范围与最值

求某个量的取值范围或最值。 方法：联立后用韦达定理表示目标量，得到一个关于参数的函数，再用二次函数/不等式求范围。

这类题通常计算量大，但思路清晰。

"设而不求"的思想

这四个题型有一个共同特点：我们不把交点坐标具体求出来，而是用韦达定理间接处理。

这就是解析几何里最重要的思想之一——设而不求。

为什么要"不求"？因为直接求根往往涉及到开根号、复杂运算，很容易出错。而韦达定理只用到系数，计算量小得多。

什么时候必须求根？当题目要求具体的坐标值时。但绝大多数圆锥曲线大题，都是"设而不求"。

在高中数学体系里的位置

直线与圆锥曲线的交点问题，是整个解析几何部分的计算核心。

如果说圆锥曲线的性质是"知识"，那这一讲的内容就是"技能"。考试中的圆锥曲线大题，90% 的分数要靠这套计算技能拿到。

从难度来说，这套方法的逻辑很简单（联立→韦达→弦长），但计算量是高中数学里最大的之一。一道大题算下来，经常需要算好几页纸，一步错全盘皆输。

所以学这部分，关键不是"想明白"，而是练熟练——看到联立方程就要条件反射地写出韦达定理，看到弦长就要立刻套公式。

思考与拓展

1. 直线 $y = 2x + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 相交于 A、B 两点，求弦长 $|AB|$。（提示：不用真的解出交点）
2. 抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点弦长为 8，求这条弦所在直线的方程。
3. 你能为"设而不求"这个思想找到其他数学领域的例子吗？（提示：想想方程根的对称多项式、向量运算……）
4. 如果直线和圆锥曲线的联立方程退化成一次方程（对抛物线来说），这时候不能用弦长公式吗？什么时候会退化？

一句话总结

直线与圆锥曲线问题的核心就三步：联立、韦达、弦长——不求根，只用到系数比，计算量减半，准确率翻倍。