导数与切线垂直

(1) $f'(x)=\ln(1+x)/(1+x)$, 令 $g(x)=f'(x)$, 则 $g'(x)=\frac{1-\ln(1+x)}{(1+x)^2}$. 当 $x=e-1$ 时 $g'(x)=0$; 当 $-1<x<e-1$ 时 $g'(x)>0$; 当 $x>e-1$ 时 $g'(x)<0$. 故 $f'(x)$ 在 $x=e-1$ 处取得最大值 $f'_{\max}=1/e$.

(2) 设 $h(x)=f(x)-l_1(x)$, 其中 $l_1(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$. 则 $h'(x)=f'(x)-f'(a)$. 由 (1) 知 $f'(x)$ 在 $(-1,e-1)$ 上单调递增, 在 $(e-1,+\infty)$ 上单调递减. 因为 $-1<a<0<e-1$, 所以当 $x>a$ 时 $h'(x)<0$, 当 $x<a$ 时 $h'(x)>0$. 故 $h(x)\geq h(a)=0$, 即 $f(x)\geq l_1(x)$, 等号仅当 $x=a$ 时成立.

(3) $f(x)=\ln^2(1+x)/2$. $l_1$ 的方程为 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$, 令 $y=0$ 得 $x_1=a-(1+a)\ln(1+a)/2$. 由 $l_2\perp l_1$ 得 $l_2$ 的斜率为 $-1/f'(a)$, 令 $y=0$ 得 $x_2=a+\ln^3(1+a)/(2(1+a))$. 化简 $\frac{2a-x_1-x_2}{x_2-x_1}$ 并令 $t=\ln(1+a)>0$, 可得取值范围.