椭圆向量与中垂线

(1) 由 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1$ 得 $b^2=5$. 右焦点为 $(c,0)=(2,0)$, 故 $c=2$. 由 $a^2=b^2+c^2=5+4=9$, 得 $a=3$. 所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$.

(2) 由题意 $A(4,0)$. 设 $P(x,y)$, 则 $\overrightarrow{PA}=(4-x,-y)$, $\overrightarrow{MP}=(x,y-m)$. 由 $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}$ 得 $4-x=2x$, $-y=2(y-m)$. 解得 $x=\frac{4}{3}$, $y=\frac{2m}{3}$, 即 $P(\frac{4}{3},\frac{2m}{3})$. 代入椭圆方程: $\frac{(\frac{4}{3})^2}{16}+\frac{(2m/3)^2}{5}=1$, 即 $\frac{1}{9}+\frac{4m^2}{45}=1$. 解得 $m^2=10$, 又 $m>0$, 所以 $m=\sqrt{10}$.

(3) $A(a,0)$, $M(0,\frac{a}{2})$. $AM$ 中点为 $(\frac{a}{2},\frac{a}{4})$, $AM$ 斜率为 $-\frac{1}{2}$. 中垂线 $l$ 斜率为 $2$, 方程为 $y-\frac{a}{4}=2(x-\frac{a}{2})$, 即 $y=2x-\frac{3a}{4}$. 与椭圆方程联立: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{(2x-3a/4)^2}{5}=1$. 整理得: $(5+4a^2)x^2-3a^3x+\frac{9a^4}{16}-5a^2=0$. 设 $C(x_1,y_1)$, $D(x_2,y_2)$, 由韦达定理: $x_1+x_2=\frac{3a^3}{5+4a^2}$, $x_1x_2=\frac{9a^4/16-5a^2}{5+4a^2}$.

$\overrightarrow{MC}=(x_1,2x_1-\frac{5a}{4})$, $\overrightarrow{MD}=(x_2,2x_2-\frac{5a}{4})$. $\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}=5x_1x_2-\frac{5a}{2}(x_1+x_2)+\frac{25a^2}{16}$. 代入韦达定理并化简: $\frac{25a^2(a^2-11)}{16(5+4a^2)}$. 由 $\angle CMD$ 为钝角, $\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}<0$, 即 $a^2-11<0$, 得 $a<\sqrt{11}$. 又 $a>\sqrt{5}$, 所以 $a\in(\sqrt{5},\sqrt{11})$.