函数切线与导数

(1) $f(0)=b=1$, $f'(x)=(x+1)e^x+a$, $f'(0)=1+a=-2$, $a=-3$.

$f(x)=xe^x-3x+1$.

(2) $f(x+m)-f(x)>m$, 即 $(x+m)e^{x+m}-3(x+m)+1-xe^x+3x-1>m$.

$(x+m)e^{x+m}-xe^x-3m>m$, $(x+m)e^{x+m}-xe^x>4m$.

令 $g(x)=f(x)-f(x-m)=xe^x-(x-m)e^{x-m}-3m$...

通过分析 $f'(x)=(x+1)e^x-3=(x+1)e^x-3$, 当 $x>0$ 时 $f'(x)>-3$...

答案: $m>-1$.

(3) $f(k+x)+f(k-x)>2f(k)$, 即 $(k+x)e^{k+x}+(k-x)e^{k-x}-6k+2>2ke^k-6k+2$.

$(k+x)e^{k+x}+(k-x)e^{k-x}>2ke^k$.

由 $f''(x)=(x+2)e^x$, 当 $x>0$ 时 $f''(x)>0$, $f'$ 单调递增.

答案: $k$ 的最小值为 $\ln 2$. $a=-3$, $b=1$. $m>-1$. $k_{\min}=\ln 2$.