椭圆与轨迹方程

(1) $b^2=1$, $c^2=a^2-1$.右焦点 $F(c,0)$, $x=c$ 代入椭圆: $\frac{c^2}{a^2}+y^2=1$, $y^2=\frac{1}{a^2}$.

线段长 $2|y|=\frac{2}{a}=\sqrt{2}$, $a=\sqrt{2}$, $c=1$, $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(2) $E:\frac{x^2}{2}+y^2=1$, $A(x_0,y_0)$ 在 $E$ 上, $B(0,y_0)$.

$AO$: $y=\frac{y_0}{x_0}x$. $GB$: $G(t,0)$, $B(0,y_0)$, $y=-\frac{y_0}{t}x+y_0$.

交点 $P$: $\frac{y_0}{x_0}x=-\frac{y_0}{t}x+y_0$, $x=\frac{tx_0}{x_0+t}$, $y=\frac{ty_0}{x_0+t}$.

(i) 设 $P(X,Y)$, $\frac{X}{Y}=\frac{x_0}{y_0}$, $x_0=\frac{tX}{t^2-X}$.

由 $\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1$ 和 $\frac{x_0}{y_0}=\frac{X}{Y}$ 代入可得 $M$ 的方程。

答案: $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。