五面体体积（选择题）

五面体 $ABC-DEF$，$AD\parallel BE\parallel CF$，两两距离为 $1$。$AD=1$，$BE=2$，$CF=3$。

$AD,BE,CF$ 是三条平行的棱段，长度分别为 $1,2,3$，两两之间距离为 $1$。

将五面体分解为一个棱柱和一个棱锥。

$AD$ 和 $BE$ 构成一个梯形面（侧面），$BE$ 和 $CF$ 构成另一个梯形面。$ABC$ 和 $DEF$ 是底面。

三棱 $AD,BE,CF$ 平行，长度 $1,2,3$，两两距离 $1$。在截面（垂直于棱的方向）上，三棱投影为三个点，两两距离 $1$，构成等边三角形（边长 $1$）。

体积 $=$ 截面面积 $\times$ 平均高度。截面为等边三角形，面积 $=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$。

平均棱长 $=\dfrac{1+2+3}{3}=2$。但更精确地，五面体可分解为：

将 $AD$ 延伸到与 $BE$ 等长（补 $1$），再延伸到与 $CF$ 等长（补 $2$）。补的部分构成两个三棱锥。

完整棱柱（棱长 $3$）体积 $=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 3=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。

减去两个棱锥：棱锥 $1$（从 $AD=1$ 到 $BE=2$，补高 $1$）：$V_1=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 1=\dfrac{\sqrt{3}}{12}$。

棱锥 $2$（从 $BE=2$ 到 $CF=3$，补高 $1$）：$V_2=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 1=\dfrac{\sqrt{3}}{12}$。

$V=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-2\times\dfrac{\sqrt{3}}{12}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{9\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{12}=\dfrac{7\sqrt{3}}{12}$

检查选项：$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}-2}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}-2}{4}$，$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}+2}{4}$。

$\dfrac{7\sqrt{3}}{12}\approx\dfrac{7\times 1.732}{12}\approx\dfrac{12.124}{12}\approx 1.010$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{2}\approx\dfrac{5.196}{4}-0.5\approx 1.299-0.5=0.799$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{1}{2}\approx 1.299+0.5=1.799$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$

$\dfrac{\sqrt{3}}{6}\approx 0.289$

都不匹配。重新考虑分解。

五面体体积 $=$ 棱柱部分（$AD=1$ 到 $BE=2$）$+$ 棱柱部分（$BE=2$ 到 $CF=3$）$+$ 棱锥部分。

更准确地，$V=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times\dfrac{1+2+3}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$？不对。

用梯形公式：$V=\dfrac{S}{3}(h_1+h_2+h_3)=\dfrac{\sqrt{3}/4}{3}(1+2+3)=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times 6=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$，对应选项 C。

答案

选 C。体积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。