函数不等式与分段定义（选择题）

$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，$x<3$ 时 $f(x)=x$。

$f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3$。$f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5$。$f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8$。

递推 $f(n)>f(n-1)+f(n-2)$，类似斐波那契增长（但严格大于）。

设 $g(n)=f(n)$ 的下界为斐波那契型数列 $F_n$：$F_1=1,F_2=2,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$。

$F: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\dots$

$f(10)>F_{10}=89$。检查 A: $f(10)>100$？$F_{10}=89<100$，但 $f$ 增长可能快于 $F$。

更紧的下界：$f(n)>f(n-1)+f(n-2)>F_{n-1}+F_{n-2}=F_n$。$F_{10}=89$，$f(10)>89$。但 $89<100$，A 不一定成立。

实际上 $f(n)$ 的精确下界为 $F_n$，$F_{10}=89<100$，$F_{20}=10946>1000$。

$f(20)>F_{20}=10946>10000$？$F_{20}=10946>10000$，故 D ($f(20)<10000$) 错误。

B: $f(20)>1000$？$F_{20}=10946>1000$。$\checkmark$

C: $f(10)<1000$？$f(10)>89$，但 $f(10)<1000$ 是否成立？$f(10)$ 可任意大（增长快于斐波那契），但题目问哪些一定成立。

$f(10)>89$，但 $f(10)$ 可远大于 $1000$（若每步增长远超 $F_n$），故 C 不一定成立。

A: $f(10)>100$？$F_{10}=89<100$。但 $f$ 严格大于 $F$，每步多出可累积。$f(3)>3$，$f(4)>f(3)+2>5$，$f(5)>f(4)+f(3)>8$... 严格递推下界恰为 $F_n$，$F_{10}=89<100$。A 不一定成立。

但更仔细：$f(3)\geq 3+\epsilon$（$\epsilon>0$），$\epsilon$ 逐级放大。$f(10)\geq F_{10}+c\cdot\epsilon$（$c$ 为系数），但 $\epsilon$ 可任意小，故 $f(10)>89$ 但不一定 $>100$。

B: $f(20)>F_{20}=10946>1000$。$\checkmark$ D: $f(20)>10946>10000$，D 错误。

答案

正确结论为 B。