函数方程存在性

(1) $f(x)+f(2x)=-x$: 因为 $f$ 递增, 所以 $f(2x)>f(x)$, 即 $2f(x)<f(x)+f(2x)=-x$, 得 $f(x)<-\frac{x}{2}$. 通过迭代构造可知 (1) 正确. (2) $f$ 递减, $f(2x)<f(x)$, 同理 $2f(x)>f(x)+f(2x)=-x$, 即 $f(x)>-\frac{x}{2}$. 可以构造. (2) 正确. (3) $f(x)+f(-x)=\cos x$: 令 $g(x)=(\cos x)/2+h(x)$, 其中 $h$ 为任意奇函数, 则 $g(x)+g(-x)=\cos x$, 有无穷多个. (3) 正确. (4) $f(x)-f(-x)=\cos x$: 等式左边为奇函数, 而 $\cos x$ 为偶函数, 即 $\cos(-x)=\cos x$, 所以 $f(x)-f(-x)=f(-x)-f(x)$, 即 $f(x)-f(-x)=0$, 矛盾. (4) 错误.

答案: (1)(2)(3).