投篮概率与连续命中递推问题

解析

（1） 由 $P(3,3)=\dfrac{1}{8}$，即 $p^3=\dfrac{1}{8}$，故 $p=\dfrac{1}{2}$。

$P(3,2)$ 为"3次投篮中至少连续2次投进"的概率，其对立事件为"没有连续2次投进"，即"3次投篮的命中情况为'中不中'或'不中中不中'"。

$P(3,2)=1-P(\text{无连续2次中})$

"无连续2次中"的情况：不中不中不中（概率 $\dfrac{1}{8}$）、不中中不中（概率 $\dfrac{1}{8}$）、中不中不中（概率 $\dfrac{1}{8}$）。

$P(3,2)=1-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}$

$P(4,3)$ 为"4次投篮中至少连续3次投进"的概率。包含"恰好连续3次中"和"连续4次中"。

连续3次中：中中中不、不中中中，共2种，概率 $2 \times \dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{8}$。

连续4次中：中中中中，概率 $\dfrac{1}{16}$。

$P(4,3)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}$

（2） $X$ 为5次投篮中连续投进次数的最大值，$X$ 的可能取值为 $0,1,2,3,4,5$。

$P(X=5)=p^5=\dfrac{1}{32}$

$P(X=4)$：恰有连续4次中且不连续5次中，即中中中中不、不中中中中，$P(X=4)=2 \times \dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{16}$

$P(X=3)$：最大连续中数为3，即包含连续3次中但不包含连续4次中。枚举所有包含连续3次中但不包含连续4次中的投法：

中中中不中、不中中中中、中中中不（但已有4连中——已排除）、中不中中中不。

注意排除含连续4次中或5次中的情况。

含连续3次中但不含连续4次中的投法：中中中不中（1种）、中不中中中（含4连中——排除）、不中中中不中（不满足"至少3连中"）。

重新枚举。$X \geqslant 3$ 的所有投法为含"至少连续3次中"，共：

中中中中中（$X=5$）、中中中中不（$X=4$）、不中中中中（$X=4$）、中中中不中（$X=3$）、不中中中不中（$X=3$）、中不中中中（含4连中——归入$X=4$）。

共 $1+2+2=5$ 种投法。

$P(X \geqslant 3)=\dfrac{5}{32}$

$P(X=3)=P(X \geqslant 3)-P(X=4)-P(X=5)=\dfrac{5}{32}-\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{16}$

$P(X=2)$：最大连续中数为2，即含连续2次中但不含连续3次中。枚举：

不中中中不中不（但仅5次）、中中不中中（含两组2连中但无3连中）、中中不不中、不中中中不、不中不中中、中不中中、中不不中中。

采用递推方法更准确。设 $a_n$ 为"前 $n$ 次投篮中恰好没有连续3次中"的投法数（每种投法概率为 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$）。

$a_1=2$（中、不中），$a_2=4$，$a_3=7$（排除中中中）。

$n \geqslant 4$ 时，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$（前缀以不中、中不、中中结尾分类）。

$a_4=a_3+a_2+a_1=7+4+2=13$

$P(X \leqslant 2)=\dfrac{13}{16}$，即 $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\dfrac{13}{16}$。

类似地，设 $b_n$ 为"前 $n$ 次投篮恰好没有连续2次中"的投法数。

$b_1=2$，$b_2=3$（排除中中），$b_3=5$，$b_4=8$，$b_5=13$。

$P(X \leqslant 1)=\dfrac{b_5}{32}=\dfrac{13}{32}$

$P(X=2)=P(X \leqslant 2)-P(X \leqslant 1)=\dfrac{13}{16}-\dfrac{13}{32}=\dfrac{13}{32}$

$P(X=0)=\dfrac{1}{32}$（全不中）

$P(X=1)=P(X \leqslant 1)-P(X=0)=\dfrac{13}{32}-\dfrac{1}{32}=\dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}$

验证：$\dfrac{1}{32}+\dfrac{12}{32}+\dfrac{13}{32}+\dfrac{2}{32}+\dfrac{2}{32}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32} \neq 1$，差 $\dfrac{1}{32}$，说明枚举有误。

重新计算 $a_5$。$a_5=a_4+a_3+a_2=13+7+4=24$。

$P(X \leqslant 2)=\dfrac{24}{32}=\dfrac{3}{4}$

$P(X=2)=\dfrac{24}{32}-\dfrac{13}{32}=\dfrac{11}{32}$

$P(X=1)=\dfrac{13}{32}-\dfrac{1}{32}=\dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}$

验证：$\dfrac{1}{32}+\dfrac{12}{32}+\dfrac{11}{32}+\dfrac{2}{32}+\dfrac{2}{32}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{29}{32}$，仍差 $\dfrac{3}{32}$。

问题出在 $X \geqslant 3$ 的投法计数上。重新枚举 $X \geqslant 3$ 的投法（含至少连续3次中）：

以中中中开头：中中中中中（$X=5$）、中中中中不（$X=4$）、中中中不中（$X=3$）——3种

以中中中结尾的前4次：不中中中中（$X=4$）——1种

中中中在中间：中不中中中（$X=4$）——1种

不中中中不中——$X=3$（1种）

中中中不在结尾：中中中不X——已在"中中中中不"和"中中中不中"中

中不中中不在结尾：中不中中不——$X=3$（1种）

不中中中不——$X=3$（1种）

总结 $X \geqslant 3$ 的投法：中中中中中（$X=5$）、中中中中不（$X=4$）、中中中不中（$X=3$）、不中中中中（$X=4$）、中不中中中（$X=4$）、中不中中不中（$X=3$）、不中中中不中（$X=3$）

共7种投法。

$P(X \geqslant 3)=\dfrac{7}{32}$

$P(X=3)=\dfrac{7}{32}-\dfrac{4}{32}=\dfrac{3}{32}$

$P(X=2)=\dfrac{24}{32}-\dfrac{7}{32}=\dfrac{17}{32}$

验证：$\dfrac{1}{32}+\dfrac{12}{32}+\dfrac{17}{32}+\dfrac{3}{32}+\dfrac{2}{32}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{36}{32}$，超过1了，说明 $a_5$ 计算仍有误。

$a_5=a_4+a_3+a_2=13+7+4=24$，但总投法数为 $2^5=32$，$P(X \leqslant 2)=\dfrac{24}{32}$。

$X \geqslant 3$ 的投法应恰好为 $32-24=8$ 种。

重新列出8种：

1. 中中中中中（$X=5$）
2. 中中中中不（$X=4$）
3. 不中中中中（$X=4$）
4. 中不中中中（$X=4$）
5. 中中中不中（$X=3$）
6. 不中中中不中（$X=3$）
7. 中不中中不中（$X=3$）
8. 中中中不不（$X=3$）

共8种，$P(X \geqslant 3)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$

$P(X=5)=\dfrac{1}{32}$

$P(X=4)=\dfrac{3}{32}$

$P(X=3)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$

$P(X=2)=\dfrac{24}{32}-\dfrac{8}{32}=\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{2}$

$P(X=1)=\dfrac{13}{32}-\dfrac{1}{32}=\dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8}$

$P(X=0)=\dfrac{1}{32}$

验证：$\dfrac{1}{32}+\dfrac{12}{32}+\dfrac{16}{32}+\dfrac{4}{32}+\dfrac{3}{32}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{37}{32}$，仍然有问题。

说明 $P(X=2)$ 的计算逻辑不对——不能简单用差值。因为"无连续3次中"中包含了"无连续2次中"的情况。

$P(X=2)$ 应为 $P(\text{含连续2次中但不含连续3次中})=P(X \leqslant 2)-P(X \leqslant 1)=\dfrac{24}{32}-\dfrac{13}{32}=\dfrac{11}{32}$

$P(X=3)=P(X \geqslant 3)-P(X \geqslant 4)=\dfrac{8}{32}-\dfrac{4}{32}=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$

验证：$\dfrac{1}{32}+\dfrac{12}{32}+\dfrac{11}{32}+\dfrac{4}{32}+\dfrac{3}{32}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{32}{32}=1$。正确！

分布列：

$E(X)=0 \times \dfrac{1}{32}+1 \times \dfrac{12}{32}+2 \times \dfrac{11}{32}+3 \times \dfrac{4}{32}+4 \times \dfrac{3}{32}+5 \times \dfrac{1}{32}$

$=\dfrac{0+12+22+12+12+5}{32}=\dfrac{63}{32}$

（3） 求 $P(10,3)$。

设 $a_n$ 为"前 $n$ 次投篮中没有连续3次中"的投法数。

$a_1=2,\ a_2=4,\ a_3=7,\ a_4=13,\ a_5=24$

$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}$（$n \geqslant 4$）

$a_6=a_5+a_4+a_3=24+13+7=44$

$a_7=a_6+a_5+a_4=44+24+13=81$

$a_8=a_7+a_6+a_5=81+44+24=149$

$a_9=a_8+a_7+a_6=149+81+44=274$

$a_{10}=a_9+a_8+a_7=274+149+81=504$

$P(10,3)=1-\dfrac{504}{2^{10}}=1-\dfrac{504}{1024}=\dfrac{520}{1024}=\dfrac{65}{128}$

答案

（1）$P(3,2)=\dfrac{5}{8}$，$P(4,3)=\dfrac{3}{16}$

（2）$E(X)=\dfrac{63}{32}$

（3）$P(10,3)=\dfrac{65}{128}$