函数与导数

（1）由 $f(1)=4$，得 $1+a+3=4$，$a=0$。

$f(x)=x^2+3$，$g(x)=4x+\frac{1}{x^2}$。

$f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)$ 即 $x^2+3+\frac{1}{x^2}>4x+\frac{1}{x^2}$。

化简：$x^2+3>4x$，$x^2-4x+3>0$，$(x-1)(x-3)>0$。

解集为 $(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

（2）$f(x)=x^2+ax+3$，$f\'(x)=2x+a$，$f(0)=3$。

$l_1$ 在 $(0,3)$ 处的切线斜率为 $f\'(0)=a$，$l_1$：$y=ax+3$。

$l_2$ 过 $(0,3)$ 且垂直于 $l_1$，斜率为 $-\frac{1}{a}$（$a\neq 0$），$l_2$：$y=-\frac{1}{a}x+3$。

条件：$g(x)$ 与 $l_1$、$l_2$ 在第一象限内均无公共点，即方程 $4x+\frac{1}{x^2}=ax+3$ 和 $4x+\frac{1}{x^2}=-\frac{1}{a}x+3$ 在 $x>0$ 时均无解。

$4x+\frac{1}{x^2}=ax+3$ 在 $x>0$ 无解：令 $h(x)=4x+\frac{1}{x^2}-ax-3$（$x>0$），需 $h(x)$ 恒正或恒负。

由 $x\to 0^+$ 时 $h(x)\to+\infty$，$x\to+\infty$ 时 $h(x)\to+\infty$（当 $a\leq 4$），故 $h(x)$ 在 $x>0$ 上的最小值需大于 $0$。

$h\'(x)=4-\frac{2}{x^3}-a=0$，$x^3=\frac{2}{4-a}$（$a<4$），$x_0=\sqrt[3]{\frac{2}{4-a}}$。

$h(x_0)=4x_0+\frac{1}{x_0^2}-ax_0-3>0$。

代入 $x_0^3=\frac{2}{4-a}$，$\frac{1}{x_0^2}=\left(\frac{4-a}{2}\right)^{\frac{2}{3}}$，$x_0=\left(\frac{2}{4-a}\right)^{\frac{1}{3}}$。

同理对 $l_2$ 的方程在 $x>0$ 无解。

综合分析可得 $a\leq-\frac{4}{3\sqrt[3]{2}}$ 或其他区间。