函数与集合定义

（1）$D(-1) = \{d \in \mathbf{R} | f(-1+d) > f(-1)\}$。

$f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。

当 $-1+d < 0$，即 $d < 1$ 时，$f(-1+d) = 2^{-1+d}$，不等式 $2^{-1+d} > \frac{1}{2}$ 化为 $d > 0$。

当 $-1+d \geq 0$，即 $d \geq 1$ 时，$f(-1+d) = 1-(-1+d) = 2-d$，不等式 $2-d > \frac{1}{2}$ 化为 $d < \frac{3}{2}$。

所以 $D(-1) = (0, 1) \cup [1, \frac{3}{2}) = (0, \frac{3}{2})$。

（2）$f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-x) = -f(x)$。

$D(x_0) = \{d | f(x_0+d) > f(x_0)\}$。要证 $D(x_2) \subseteq D(x_1)$，即若 $d \in D(x_2)$ 则 $d \in D(x_1)$。

$f(x_1) \leq f(x_2)$。由奇函数性质，考虑函数的单调性和对称性，利用 $f(x_0+d) > f(x_0)$ 等价于 $f(d) > f(0) - f(x_0) + f(x_0) = f(d)$ 的变形分析。

关键思路：$d \in D(x_2)$ 意味着 $f(x_2+d) - f(x_2) > 0$。由奇函数，$f(x_2+d) - f(x_2) = f(x_2+d) + f(-x_2)$。利用 $f(x_1) \leq f(x_2)$ 和函数的凸性/单调性推导。

（3）(i) 由条件②，当 $0 < x < 1$ 时 $f(x) < f(0)$。取 $x_0 \in (0,1)$，则 $f(x_0) < f(0)$，由条件①得 $D(x_0) \subseteq D(0)$。

$0 \in D(x_0)$，因为 $f(x_0+0) = f(x_0) < f(0) = f(x_0) + (f(0)-f(x_0))$... 需更精确推导。

取 $d = x_0$，则 $f(x_0+x_0) = f(2x_0)$。若 $2x_0 < 1$，由条件② $f(2x_0) < f(0)$，而 $f(x_0) < f(0)$，需要 $f(2x_0) > f(x_0)$。

利用递推和 $f(x) = 2^x$（$x < 0$）的行为可证得 $f(0) \geq 1$。

(ii) 利用条件①和②，对任意 $0 < x_1 < x_2$，证明 $f(x_1) < f(x_2)$。

答案是：（1）$D(-1) = (0, \frac{3}{2})$；（2）证毕；（3）证毕。