函数与导数

要使函数 $f(x) = \frac{x + 2}{e^x + a}$ 的最大值为 $1$，等价于不等式

$$\frac{x + 2}{e^x + a} \le 1$$

恒成立，且存在 $x$ 使得等号成立。

定义域与符号分析

若 $e^x + a < 0$，当 $x \to -\infty$ 时 $e^x \to 0$，此时若 $a < 0$，分母会出现负数； 而分子 $x+2$ 可正可负，函数值无法保证恒不超过 $1$。 因此必须有 $e^x + a > 0$ 恒成立，即 $a \ge 0$。

不等式变形

由 $e^x + a > 0$，不等式两边同乘分母得：

$$x + 2 \le e^x + a$$

整理得：

$$a \ge x + 2 - e^x$$

题目中“最大值为 $1$”意味着：

• $a \ge x + 2 - e^x$ 对所有 $x$ 恒成立；
• 存在某个 $x_0$，使得 $\frac{x_0 + 2}{e^{x_0} + a} = 1$，即 $a = x_0 + 2 - e^{x_0}$。

因此 $a$ 必须等于 $g(x) = x + 2 - e^x$ 的最大值。

求 $g(x) = x + 2 - e^x$ 的最大值

对 $g(x)$ 求导：

$$g'(x) = 1 - e^x$$

令 $g'(x) = 0$，解得 $x = 0$。

• 当 $x < 0$ 时，$e^x < 1$，$g'(x) > 0$，$g(x)$ 单调递增；
• 当 $x > 0$ 时，$e^x > 1$，$g'(x) < 0$，$g(x)$ 单调递减。

故 $x = 0$ 时 $g(x)$ 取得最大值：

$$g(0) = 0 + 2 - e^0 = 2 - 1 = 1$$

验证

当 $a = 1$ 时，$f(x) = \frac{x + 2}{e^x + 1}$，在 $x=0$ 处：

$$f(0) = \frac{0 + 2}{e^0 + 1} = \frac{2}{2} = 1$$

且对所有 $x$，$\frac{x + 2}{e^x + 1} \le 1$ 恒成立，故最大值为 $1$，符合题意。

答案：B